A janela de Euclides

A JANELA DE EUCLIDES




(A história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço).



Esta obra divide-se em cinco capítulos:

1.A História de Euclides

2.A História de Descartes

3.A História de Gauss

4.A História de Einstein

5.A História de Witten



Há 2.400 anos, um grego estava de pé na orla marítima observando os navios desaparecerem na distância.

Aristóteles deve ter passado muito tempo lá, observando sossegadamente o desaparecimento de muitos navios, até que finalmente foi surpreendido por um pensamento peculiar. De todos os navios, o casco parecia sumir primeiro, depois o mastro velas. Ele perguntou a si mesmo: como isso é possível? Numa terra plana, os navios deveriam diminuir por igual até que desaparecessem como um pequeníssimo e insignificante ponto. Se o casco desaparecia primeiro – Aristóteles percebeu num lampejo genial – isso é um sinal de que a terra é curva. Para observar a estrutura de nosso planeta em grande escala, Aristóteles tinha olhado através da janela da geometria.





A História de Euclides

O que podemos dizer a respeito do espaço? Como a geometria começou a descrever o universo e trouxe a civilização moderna.

Euclides foi um homem que, possivelmente, não descobriu sequer uma só lei importante da geometria. No entanto, ele é o mais famoso geômetra já conhecido, e por boas razões: foi através de sua janela que, durante milênios, as pessoas olharam primeiramente quando contemplaram a geometria. Atualmente, ele é o nosso garoto-propaganda da primeira grande revolução no conceito do espaço – o nascimento da abstração e a idéia de demonstração.

O conceito de espaço começou, naturalmente, como um conceito de lugar, o nosso lugar, a terra. Começou com um desenvolvimento técnico que os egípcios e os babilônios chamavam de “medida da terra”. A palavra grega para isso é geometria, mas os assuntos não são totalmente iguais. Os gregos foram os primeiros a perceber que a natureza poderia ser estendida usando-se a matemática – que a geometria poderia ser aplicada para revelar, não apenas para resolver. Desenvolvendo a geometria a partir de descrições simples de pedra e areia, os gregos extraíram as idéias de ponto, linha e plano. Retirando a cortina que encobria a matéria, eles revelaram uma estrutura possuidora de uma beleza que a civilização nunca tinha visto antes. No clímax desta luta para inventar a matemática destaca-se Euclides. A história de Euclides é uma história de revolução. É a história do axioma, do teorema, da demonstração, a história do nascimento da própria razão.





A Geometria dos Impostos

As raízes dos avanços intelectuais gregos brotavam nas antigas civilizações da Babilônia e do Egito. A humanidade pré-grega tinha noção de muitas fórmulas eficientes, truques de cálculos e de engenharia, mas como nossos líderes políticos, eles algumas vezes realizavam surpreendentes feitos com impressionante pouca compreensão do que estavam fazendo. Eram construtores trabalhando no escuro, tateando, descobrindo o seu caminho, levantando uma estrutura aqui, colocando um piso ali, alcançando o propósito sem jamais ter alcançado a compreensão do processo. Algumas ferramentas consideradas de computação datadas de 30.000 a.C. podem muito bem ser varas decoradas por artistas com sensibilidade matemáticas intuitivas. Porém, outras são curiosamente diferentes. Nas margens do lago Edward, na atual república Democrática do Congo, arqueólogos descobriram um pequeno osso, de 8 mil anos, com uma pequeníssima pedra de quartzo presa num entalhe em uma das extremidades. O seu criador, um artista ou matemático – nunca saberemos com certeza – entalhou três colunas de cortes em um dos lados do osso. Os cientistas acreditam que esse osso, chamado de osso Ishango, provavelmente seja o mais antigo exemplo já encontrado de um dispositivo para registro numérico .

O pensamento de fazer operações com números surgiu muito mais tarde, porque fazer cálculos aritméticos exige um certo grau de abstração.

Os primeiros passos principais nesta direção foram tomados no sexto milênio a.C. quando as pessoas do vale do rio Nilo começaram a abandonar a vida nômade e a se concentrar no cultivo do vale. A inundação do vale durava quatro meses de cada ano. Em outubro, o rio começava a contrair-se. Os oito meses secos eram divididos em duas estações, a perit para o cultivo e a shemu para a colheita. Os egípcios começaram a estabelecer comunidade fixas sobre montes de terra que se tornavam pequenas ilhas ligadas por caminhos elevados durante as cheias. Eles construíram um sistema de irrigação e armazenagem de grãos. A vida agrícola tornou-se a base do calendário e da vida dos egípcios. Pão e cerveja tornaram-se seus principais produtos. Em 3500 a.C., os egípcios já tinham dominado uma indústria de pequena escala de trabalhos manuais e metalurgia. Por volta desta época, eles também desenvolveram a escrita. A cobrança de impostos foi, talvez, o primeiro imperativo para o desenvolvimento da geometria, pois embora teoricamente o faraó possuísse todas as terras e bens, na realidade os templos e até os indivíduos em particular possuíam imóveis. O governo determinava a cobrança de impostos da terra baseado na altura da enchente do ano e na área de superfície das propriedades. Pedir empréstimo era possível, mas a taxa de juros era baseada numa filosofia do “sejamos práticos”: 100% ao ano. Como muita coisa estava em jogo, os egípcios desenvolveram métodos bastante confiáveis, embora tortuosos, para calcular a área de um quadrado, de um retângulo e de um trapezóide. Para achar a área de um círculo, eles o consideraram semelhante a um quadrado com lados iguais a 8/9 do diâmetro. Isso é equivalente a usar para pi um valor de 256/81, ou 3,16, uma estimativa alta, mas com o erro de apenas 0,6%.

Os egípcios empregavam seu conhecimento matemático para fins impressionantes,. Imagine um deserto desolado varrido pelo vento, no ano de 2580 a.C. O arquiteto desenrolando um papiro com o projeto de sua estrutura. Seu trabalho era fácil – base quadrada, faces triangulares – e, bem tinha que ter uns 145 metro de altura, e deveria ser feita de sólidos blocos de pedras pesando mais de 2 toneladas cada, nenhum instrumento extravagante de topógrafo à sua disposição, apenas um pouco de madeira e corda. A geometria egípcia tornou-se uma matéria bem desenvolvida. Na realização de seus levantamentos topográficos, os egípcios utilizavam umas pessoas chamadas de harpedonopta, que significa literalmente “um esticador de cordas” Por exemplo, se esticarmos uma corda com nós a distância de 30, 40 e 50 metros, obteremos um ângulo reto entre os lados 30 e 40 metros. (Originalmente a palavra Hipotenusa significava, em grego, “o que foi esticado contra”.) O método era engenhoso. Hoje diríamos que os esticadores não formavam linhas, mas curvas geodésicas em toda a extensão da superfície da terra.

Enquanto os egípcios se estabeleciam no Nilo, na região entre o golfo Pérsico e a Palestina, estavam acontecendo outras urbanizações. Começou na Mesopotâmia, na região entre os rios Tigre e Eufrates. São atribuídos aos babilônios um sistema de matemática consideravelmente mais sofisticada do que aquela dos egípcios. Conhecemos a matemática egípcia por duas fontes: o pairo Rhind e o papiro de Moscou. Os babilônios não escreviam equações. Todos os seus cálculos eram expressos como enigmas. Num enigma apresentado parecia que os babilônios já tinham conhecimento do teorema de Pitágoras.

Considere um problema que tornou a maior de todas as dores de cabeça na geometria da Grécia antiga, mas que não perturbou de jeito nenhum os egípcios e os babilônios , que é Raiz de 2, os babilônios calculavam isto como 1,4142129, esta resposta esta correta até a terceira casa sexagesimal(usavam um sistema de base sessenta) . os pitagóricos perceberam que esse número não podia ser escrito como um número inteiro ou uma fração, hoje reconhecemos como um número irracional, para os grego isso causou um grande trauma, uma crise de proporções religiosas, e por causa disso pelo menos um sábio foi assassinado. Assassinado por reclamar do valor da raiz quadrada de 2? Por quê? A resposta está no âmago da grandeza intelectual grega.
Entre os Setes Sábios


Descoberta que a matemática é mais do que algoritmo para calcular o volume de entulho ou valor dos impostos é creditado a um comerciante grego, que virou filosofo, chamado Tales, há pouco mais de 2500 anos. Foi ele quem preparou o cenário para as grandes descobertas dos pitagóricos e, por fim, para os Elementos de Euclides. Ele viveu numa época quando, ao redor do mundo,uma luz iluminava, de um jeito ou de outro, despertando a mente humana.

Na Índia, Sidarta Gautama Buda, nascido cerca de 560 a.C., começou a disseminar o budismo. Na China, Lao Tse e Confúcio, seu contemporâneo mais jovem, nascido em 551 a.C., fizeram progresso intelectual de enorme conseqüência. Também na Grécia estava começando uma Idade de Ouro.

Tales nasceu na Grécia, mais precisamente na cidade de Mileto em 640 a.C., Tales de Mileto tem a honra de ser a pessoa mais freqüentemente designada como o primeiro cientista ou matemático do mundo, era rico e usou seu dinheiro naquilo que lhe agradava, aposentou-se para dedicar-se aos estudos a às viagens, nas suas viagens à Babilônia, ele estudou a ciência e a matemática da astronomia e ganhou fama local ao trazer este conhecimento para Grécia. Um dos feitos legendários de Tales foi ter predito o eclipse solar do dia 28 de maio de 585 a.C., interrompendo a luta, e trouxe a paz duradoura, também passou longo período no Egito, onde foi capaz de deduzir técnicas geométricas, como medir a altura de uma pirâmide empregando um conhecimento das propriedades de triângulos semelhantes. Mas tarde, Tales usou uma técnica similar para medir a distância de um navio no mar. Ele se tornou uma celebridade no Egito antigo.

Na grécia, Tales foi nomeado pelos seus contemporâneos como um dos Sete Sábios. Suas proezas eram impressionantes. Tales deu os primeiros passos para a sistematização da geometria. Ele foi o primeiro a demonstrar os teoremas geométricos do tipo que, séculos mais tarde, Euclides juntaria nos seus Elementos. Foi o primeiro a considerar o conceito de congruência de figuras espaciais, e dizia que deveríamos ser capaz de explicar tudo o que acontece na natureza. Quando Tales era um frágil homem velho, temeroso de sua própria senilidade, ele encontrou o mais importante precursor de Euclides – Pitágoras de Samos. Samos era uma cidade numa grande ilha de mesmo nome, no mar Egeu, não muito distante de Mileto. Nos dias de Pitágoras, a cidade era bastante próspera. Quando Pitágoras tinha 18 anos de idade seu pai faleceu. Seu tio lhe deu um pouco de prata e uma carta de apresentação, e o mandou visitar o filósofo Ferecides, na ilha vizinha de Lesbos – a ilha da qual veio o termo lésbica. De acordo com a lenda, Ferecides tinha estudado os livros secretos dos fenícios e introduziu na Grécia a crença da imortalidade da alma e na reencarnação, que Pitágoras com as bases fundamentais de sua filosofia religiosa. Pitágoras e Ferecides foram amigos por toda a vida, mas Pitágoras não ficou muito tempo em Lesbos. Quando tinha vinte anos, viajou para Mileto, onde encontro Tales. Sabemos pouco do que Tales disse a Pitágoras, mas certamente ele foi uma grande influência sobre este jovem gênio.



A Sociedade Secreta

Pitágoras aceirou a recomendação de Tales de ir para o Egito, mas la chegando não encontrou poesia na matemática egípcia. Os objetos geométricos eram entidades físicas. Cabe aos gregos e não aos egípcios, o credito pela idéia que traz romantismo e metáfora à matemática, de acordo com a lenda Pitágoras estava passando pela oficina de um ferreiro, quando ouviu o som de vários martelos golpeando uma grande bigorna. Isso o fez pensar. Após algumas experiências com cordas, ele descobriu as progressões harmônicas. As propriedades dos números quadrados e triangulares fascinaram Pitágoras. O teorema de Pitágoras, também, deve ter parecido mágico. Imagine os antigos estudiosos analisando triângulos de todas as espécies, e não somente o raro triângulo retângulo. Esta descoberta nos dias de hoje certamente valeria uma manchete na primeira página do melhor jornal com letras bem grandes: “Descoberta regularidade surpreendente no triangulo retângulo” .

A reverencia pelas relações numéricas o levou a formular muitas crenças numerológicas místicas. Ele foi o primeiro a dividir os números em categorias de “pares” e “impares”, mas foi mais adiante personificando-os: os impares ele chamou de “masculino” e os pares de “feminino”, ele associou números específicos com idéias. Pitágoras foi uma figura carismática e um gênio, mas também era bom em se promover. No Egito, ele aprendeu a geometria egípcia e o primeiro grego a aprender os hieróglifos egípcios e, por fim tornou-se um sacerdote egípcio ou algo equivalente. Isso lhe deu acesso a todos os mistérios egípcios, chegando ate os aposentos secretos de seus templos. Permaneceu no Egito pelo menos 13 anos. Quando partiu não foi por sua própria vontade, os persas invadiram o Egito e o levaram prisioneiro. Quando chegou a babilônia obteve sua liberdade posteriormente, e também ganhou seu reconhecimento completo da matemática babilônica. Quando voltou a Samos, tinha sistematizado a filosofia do espaço e da matemática que pretendia pregar; tudo o que precisava era de alguns seguidores. Pitágoras tinha uma marca dourada na coxa, que ele exibia como sendo um sinal de divindade. Foi em Crotana que Pitágoras estabeleceu a sua “sociedade” de seguidores. Conotam-se várias histórias sobre ele, chegando até acreditarem que ele era filho de Deus, neste caso, Apolo. Sua mãe tinha o nome de Partenes, que significa “virgem”. Antes de viajar para o Egito, Pitágoras viveu como um eremita no monte Carmelo, igual à vigília solitária de Cristo no monte, acreditava na reencarnação. Muitos dos poderes e feitos milagrosos de Cristo foram primeiramente atribuídos a Pitágoras. Duas das maneiras que o grupo de Pitágoras se distinguia das pessoas comuns era que não urinavam publicamente e não faziam sexo na frente das pessoas.

Pitágoras poderia ter adiantado a invenção sistema de números reais por muitos séculos, se tivesse feito uma coisa simples: dar um nome a diagonal, digamos, d, ou ate melhor, dividir por 2, e considerá-lo algum novo tipo de número. Se tivesse feito isso, teria esvaziado antecipadamente a revolução das coordenadas de Descartes. Os pitagóricos chamaram tais comprimentos de alogon “não racionais”. Todavia, a palavra alogon tinha um duplo sentido: significava também “não deve ser falado”. A resistência aos números irracionais continuou por milhares de anos, foi George Cantor(século 19) que desenvolveu um trabalho inovador .

Pitágoras terminou sua vida com problemas, quebrou uma de suas regras principais: ficar fora da política. A maioria das fontes dizem que ele se suicidou; outras dizem que ele viveu tranqüilamente seus últimos anos e morreu com cerca de 100 anos de idade. Já a sociedade pitagórica conseguiu atravessar os séculos seguintes vindo a desaparecer na idade das travas, aproximadamente em 600 d.C.

O Manifesto de Euclides.




Por volta de 300 a.C., no litoral sul do mar mediterrâneo, um pouco a oeste do rio Nilo, na Alexandria, viveu um homem cuja obra teve a influência que rivalizou com a bíblia. Sua abordagem deu nova forma à filosofia e definiu a natureza da matemática até o século 19. Sua obra integrou a educação superior durante a maior parte desse tempo, e continua assim até hoje. A redescoberta de sua obra foi uma chave para a renovação da civilização européia na Idade Média. Spinoza tentou emita-lo. Abraham Lincoln o estudou. Kant o defendeu.

O nome deste homem era Euclides. Virtualmente, nada de sua vida é conhecido. Ele comia azeitonas? Assistia a peças teatrais? Era alto ou baixo?. A história não responde a nenhuma dessas perguntas. Tudo o que sabemos é que ele abriu uma escola em Alexandria, teve alunos brilhantes, desprezou o materialismo, parecia ser uma pessoa agradável e escreveu pelo menos dois livros. Um deles, um livro sobre cônicas – o estudo de curvas geradas pela intersecção de um plano e um cone -, formou, mais tarde, a base da importante obra de Apolônio, que fez progredir substancialmente as ciências da navegação e a astronomia.

A sua obra mais famosa, Os elementos, é um dos livros mais amplamente lidos de todos os tempos. Ele tem uma história digna do enredo de O falcão Maltês. Em primeiro lugar não é um livro, mas uma série de 13 rolos de pergaminhos. Nenhum dos originais sobreviveu, mas foram transmitidos mais tarde através de uma série de cópias posteriores, e desapareceram quase que completamente na Idade das Trevas. Os primeiros quatro rolos da obra de Euclides não são de modo algum original de Os elementos: um erudito chamado Hipócrates(não o pai da medicina com o mesmo nome) escreveu um trabalho intitulado Os elementos aproximadamente 400 a.C., que se acredita ter sido a fonte da maior parte do que aparece naqueles. Euclides não reivindicou ter sido original em relação a qualquer dos teoremas. Ele viu o seu papel como o de organizador e sistematizador da geometria conforme compreendida pelos gregos, foi o arquiteto do primeiro relato abrangente sobre a natureza do espaço bidimensional através do raciocínio puro sem nenhuma referencia ao mundo físico. A mais importante contribuição de Os elementos de Euclides foi o seu método lógico e inovado. O objetivo de Euclides era que o seu sistema fosse livre de suposições não reconhecidas baseadas na intuição, em conjeturas e na inexatidão. Ele formulou 23 definições, cinco postulados geométricos e cinco postulados adicionais e chamou de “noções comuns”. A partir dessa base, ele demonstrou 465 teoremas – essencialmente todo o conhecimento geométrico de seu tempo.

As definições de Euclides incluíam termos como ponto, linha(que na sua definição podia ser curva), linha reta, circulo, ângulo reto, superfície e plano. Ele definiu alguns desses termos de forma bastante precisa. Linhas paralelas ele escreveu, são “linhas reta que, estando no mesmo plano e sendo prolongadas indefinidamente em ambas as direções, não se encontram uma com a outra em nenhuma direção. As noções comuns de Euclides eram mais elegantes. Elas eram proposições lógicas não geométricas que ele deve ter considerado serem do senso comum, ao contrario dos postulados que são específicos à geometria. O conteúdo geométrico do fundamento da geometria de Euclides reside nos seus cinco postulados. Os quatro primeiros são simples e podem ser enunciados com certa graciosidade. Em tempos modernos, eles são:

1 – Dados quaisquer dois pontos, pode ser traçada uma linha tendo estes pontos como suas extremidades.

2 – Qualquer linha pode ser prolongada indefinitivamente em qualquer direção.

3 – Dado qualquer ponto, pode ser desenhado um círculo com qualquer raio, com aquele ponto no centro.

4 – Todos os ângulos retos são iguais.

O quinto postulado de Euclides, chamado de o postulado das paralelas, não parece tão óbvio ou intuitivo como os demais. É uma invenção do próprio Euclides. Eis aqui o postulado, numa forma próxima ao original de Euclides.

5 – Dada uma linha que cruze duas linhas retas de modo que a soma dos ângulos internos do mesmo lado seja menor do que dois ângulos retos, então as duas linhas, quando prolongadas, acabarão por se encontrar(naquele lado da linha).

O postulado das paralelas poderia ser violado de duas maneiras: poderia não existir retas paralelas, ou poderia existir mais do uma reta paralela passando por algum ponto do espaço. Mas, por 2 mil anos, dificilmente houve alguma outra ideia em qualquer campo do conhecimento humano que fosse aceita mais universalmente do que o “fato” expresso pelo postulado de Euclides, de que existe uma somente uma paralela.



Uma Bela Mulher, uma Biblioteca e o Fim da Civilização



Euclides foi o primeiro grande matemático de uma longa e infelizmente condenada linha de estudiosos que trabalharam em Alexandria. Os macedônios, um povo grego vivendo ao norte da Grécia continental, começaram a conquista das terras helênicas sob comando de Felipe II da Macedônia em 352 a.C. Após uma decisiva derrota, os líderes atenienses aceitaram a paz nos termos de Felipe II em 338 a.C., terminando efetivamente a independência das cidades-estados gregas., Felipe II foi morto e seu filho Alexandre , o Grande, que tinha vinte anos, assumiu o comando, logo conquistou o resto da Grécia, o Egito e o Oriente Próximo, até a Índia. Em 332 a.C., no centro de seu império, o cosmopolita Alexandre começou a construção de sua luxuosa capital, Alexandria, nove anos após Alexandre morreu, seu império se desintegrou mas Alexandria foi finalmente construída. Sua geometria foi apropriada porque a cidade tornou-se o centro da matemática, ciência e filosofia gregas depois que um ex-general macedônio chamado Ptolomeu conquistou a parte egípcia do império de Alexandre, o filho de Ptolomeu, criativamente chamado de Ptolomeu II, assumiu o poder e construiu uma grande biblioteca e museu em Alexandria.. A palavra museu foi cunhada porque a construção tinha sido dedicada às sete Musas. Ptolomeu III escreveu a todos os soberanos do mundo pedindo seus livros emprestados, e depois ficou com eles, a biblioteca de Alexandria chegou a guardar um tesouro contendo entre 200.000 e 500.000 rolos de papiros. Quase todos os grandes pensadores matemáticos e científicos gregos que se seguiram a Euclides trabalharam nesta incrível biblioteca.

Em 212 a.C. Erastóstenes de Cirena, o bibliotecário principal de Alexandria, tornou-se a primeira pessoa na história a medir a circunferência da terra. Seu cálculo causou uma sensação entre seus concidadãos, demonstrando como era pequeno o pedaço do planeta conhecido por sua civilização. Arquimedes também foi para Alexandria a fim de estudar na escola real de matemática, não sabemos exatamente quem inventou a roda, mas foi Arquimedes que descobriu o principio da alavanca, ele também descobriu o principio da flutuação, e fez outras contribuições à física e à engenharia, ele também aperfeiçoou o cálculo, elevou a matemática a um nível que não foi ultrapassado até que as ferramentas da álgebra simbólica e da geometria analítica tivessem sido desenvolvidas, uns dezoito séculos mais tarde. É dele também a façanha do volume de uma esfera ser 2/3 do volume de um cilindro de mesma altura, ficou tão orgulhoso de sua descoberta que pediu que fosse inscrito em seu túmulo um diagrama representando-a. Quando os romanos invadiram Siracusa, Arquimedes , então com 75 anos foi assassinado.

A astronomia teve seu ápice em Alexandria com Hipaco, no século 2° a.C. e Cláudio Ptolomeu, no século 2° d.C., Ptolomeu escreveu o livro Geografia, descrevendo o universo terrestre, os campos da matemática, da física, da cartografia e da engenharia tinham todos feitos grandes avanços.

O último intelectual a trabalhar na biblioteca de Alexandria foi Hipácia, a primeira grande mulher erudita, nasceu em Alexandria aproximadamente 370 d.C. era filha de um famoso matemático e filósofo, descrita como uma mulher muito bonita e uma palestrante carismática, deu palestras públicas bem concorridas sobre Platão e Aristóteles.

A tradição grega de abstração e demonstração parecia perdida. Enquanto a brilhante civilização islâmica prosperava, a Europa mergulhava em profundo declínio intelectual. Daí o nome dado para essa época na Europa: a Idade das Trevas.

A história de Descartes




A revolução do Lugar

Como nós sabemos onde estamos? Depois de percebermos que o próprio espaço existe, esta talvez seja a pergunta natural seguinte. Há muito mais coisas em um lugar do que apenas um nome a um ponto. Se a geometria e a álgebra tivessem permanecido sem relacionamentos, poucos dos avanços da física moderna e da engenharia teriam sido possíveis.

Ninguém sabe quem fez os primeiros mapas, nem quando, nem por quê. Sabemos que alguns dos primeiros mapas conhecidos foram criados pela mesma razão que os egípcios inventaram a geometria. Esses mapas, simples tabletes de argila, remontam a 2300 a.C.

A ideia original de latitude veio de um antigo “meteorologista” chamado Arquimedes. Depois de estudar como a localização da terra afeta o clima, ele propôs a divisão do globo em cinco zonas climáticas delineadas por uma localização norte/sul. Essas zonas acabaram sendo incluídas nos mapas, separadas por linhas de latitudes constantes.

O primeiro grande mapa-múndi criado pelos gregos foi desenhado por Anaximandro, aluno de Tales, aproximadamente em 550 a.C. seu mapa dividia o mundo em duas partes: Europa e Ásia, o norte da áfrica ficava situado na Ásia. Geografia foi um livro de referência por vários anos. Quando a biblioteca de Alexandria foi saqueada o livro geografia desapareceu.

No fim do século VIII, as grandes obras e as tradições dos gregos estavam perdidas e esquecidas; o relógio e a bússola estavam tão distantes no futuro como a nave espacial.

A igreja Cristã, tornou-se a força motriz do saber, sob o reinado de Carlos Magno, ele tinha 300 monges e 100 empregados rezando continuamente em seu favor, em três turnos o dia todo, de qualquer maneira Carlos Magno morreu, no ano de 814.

As universidade da Europa, em especial a universidade de Bolonha, em 1088, permitiram à Europa emergir como uma potencia intelectual, e especialmente a França, com um centro de matemática. Na virada do milênio, a idade das trevas tinha terminado. O que chamamos de idade média continuaria por outros 500 anos. Enquanto a matemática e as ciências no mundo ocidental tivessem murchado, o mundo islâmico tinha retido versões fieis de muitas obras gregas, incluindo Euclides e Ptolomeu. Bem no começo do século 12, o inglês Adelard de Bath viajou para a Síria disfarçado de estudante muçulmano. Mas tarde ele traduziu Os elementos , de Euclides, em latim dessa vez com as demonstrações. Um século mais tarde, Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, trouxe do norte da África a ideia de zero e o sistema numérico árabe-indiano que hoje usamos. As faculdades não eram refúgios destas condições. O conceito de um campus universitário ainda não existia, os professores eram pagos diretamente pelos alunos. Na cidade de Bolonha, os alunos contratavam e demitiam os professores, multavam-nos por faltarem às aulas sem justificativa ou por chegarem atrasados, e até por não responderem as perguntas difíceis. Se a palestra não era interessante, indo devagar de mais, ou rápida demais, ou simplesmente não era alta o suficiente para ser ouvida, eles vaiavam e jogavam objetos no professor. Por fim, em Leipzig, a universidade viu a necessidade de promulgar uma lei contra atirar pedras em professores. Mesmo em 1495, um estatuto alemão ainda proibia explicitamente qualquer pessoa associada com a universidade de encharcar os calouros com urina. A ciência de então era uma miscelânea de conhecimento antigo entrelaçado com a religião, a superstição e o sobrenatural. O conceito de tempo era vago, não existia tecnologia para medir intervalos curtos de tempo com precisão, a cartografia também era primitiva, os mapas na Europa medieval, não havia muita noção de escala, eles eram geralmente simbólicos, históricos, decorativos ou religiosos. O principal impedimento foi uma coação mais direta da Igreja Católica, exigia que os intelectuais aceitassem que a bíblia era literalmente verdadeira. De Abelardo, Tomás de Aquino e Ockhan, somente Tomás de Aquino escapou ileso, Abelardo, além de ter sido excomungado, foi castrado por ter crenças sobre o casamento, que não se alinhavam com a igreja..

Em outras questões também, Oresme atingiu uma intuição brilhante sobre a natureza do mundo, mas recuou da verdade que tinha percebido, sobre os demônios, ele adotou uma visão rebelde e cética. Oresme escreveu, na tradição de Sócrates: “Eu realmente não sei nada, exceto que nada sei”. Oresme nunca floresceu realmente, e o mundo teve de esperar outros 200 anos até que, com o enfraquecimento da Igreja. Em 1596, uma criança doentia, nos oito anos seguintes, assistido por uma enfermeira, desse modo foi salvo para o mundo um de seus maiores filósofos e arquiteto da revolução seguinte em matemática, René Descartes. Seu pai mandou para La Fleche, uma escola jesuíta que em breve se tonaria famosa. O diretor da escola permitiu que o jovem Descartes ficasse na cama até mais tarde todas as manhãs, quando ele se sentisse pronto para se juntar aos demais. Finalmente Descartes abandonou os estudos das letras e mudou-se para Paris. Lá, passou as noites vagueando pelo circuito social. De dia, ele ficava na cama estudando matemática(começando a estudar, é claro, à tarde). Ele adorava fazer isso, o que lhe deu lucro algumas vezes, pois aplicou sua matemática nas mesas de jogo. Descartes se alistou no exercito do príncipe Mauricio de Nassau, era um exercito de voluntários, no ano seguinte se juntou as forças oponentes do duque da Bavária. Descartes apreciou seus dias no exercito, encontrando pessoas de diferentes países e também encontrando a solidão que desejava ardentemente a fim de estudar matemática e ciência, e ponderar sobre a natureza do universo. Suas viagens renderam frutos quase imediatamente.

Descartes descreveu Beeckman como “a inspiração e o pai espiritual de meus estudos”. As cartas de Descartes para seu amigo nos dois anos seguintes são generosamente temperadas com referencias à sua nova compreensão da relação entre os números e o espaço.

Como um exemplo do sucesso de Descartes, compare a definição de um circulo por Euclides, descrita na parte I, com a definição de Descartes:

Euclides: Um círculo é uma figura plana contida por uma linha(isto é, uma curva) tal que todas as linhas retas que vão até ela de um certo ponto de dentro do círculo – chamado do centro – são iguais entre si.

Descartes: Um círculo é todo x e y que satisfaça a x2 + y2 = r2 para algum número constante r.

É claro que o uso das coordenadas não era novidade, Ptolomeu já tinha usado em seus mapas, ele não viu importância nenhuma além do globo terrestre. O avanço real na ideia de coordenadas de Descartes não veio na própria ideia das coordenadas, mas no uso que Descartes fez dela. Na visão de Descartes, uma reta é uma série de pontos com a propriedade tal que, se aumentarmos uma coordenada, a fim de obter outro ponto na série, devemos aumentar a outra coordenada numa proporção fixa. Sua definição de círculo(ou elipse) funciona com base no mesmo principio. A fórmula de Descartes para a distância está profundamente ligada à geometria euclidiana. Mas o seu modo de considerar a distância como uma função de diferenças de coordenadas é um conceito válido de um modo geral.

Descartes utilizou sua percepção geométrica para fazer um trabalhos de renome em muitas áreas da física. Ele foi o primeiro a formular a lei de refração da luz na sua forma trigonométrica atual; também foi o primeiro a explicar a física do arco-íris. Seus métodos geométricos foram tão importantes para suas percepções que ele escreveu “Minha física toda nada mais é do que geometria”. No entanto, Descartes protelou a publicação da geometria das coordenadas por dezenove anos. De fato ele nada publicou até completar 40 anos. Tinha medo do que a igreja poderia pensar. Somente em 1637 resolveu publicar sua obra, hoje conhecida como Discurso ou Discurso sobre o método, mas de tal maneira que não ofendesse a igreja.

Descartes teve poucos amigos e nunca se casou. Contudo, ele teve um caso amoroso com uma mulher chamada Helena. Embora em toda sua vida Descartes fosse famoso por sua falta de emoção, esta perda o devastou. Ele teve dificuldades para sobreviver à década.

Descartes morreu na Suécia em 1650, onde tinha ido morar com a rainha Cristina, Quatro anos após a morte de Descartes, Cristina abdicou do seu trono. Converte-se ao catolicismo, creditando a Descartes a Chanut sua iluminação. Por fim ela foi morar em Roma, talvez aprendendo também com Descartes as vantagens de clima mais quentes.





A história de Gauss



A Revolução do Espaço Curvo

Euclides pretendia criar uma estrutura matemática consistente baseada na geometria do espaço. As propriedades do espaço derivadas de sua geometria são, portanto, as propriedades do espaço como os gregos entenderam. Mas o espaço tem realmente a estrutura descrita por Euclides e quantificada por Descartes? Ou há outras possibilidades?

Através dos séculos, os matemáticos que tentaram demonstrar o postulado das paralelas como teorema chegaram bem perto da descoberta de novos tipos de espaço estranho e emocionante, mas cada um foi impedido por uma crença simples: que o postulado era uma propriedade verdadeira e necessária do espaço.

Todos, menos Carl Friederich Gauss, um menino de 15 anos, que tornou-se um dos heróis de Napoleão. Com a compreensão desse jovem gênio, em 1792 foram plantadas as sementes de uma nova revolução. Diferente das anteriores, esta não seria uma melhoria revolucionaria de Euclides, mas um sistema operacional inteiramente novo. Logo os estranhos e excitantes espaços, não percebidos por muitos séculos, foram descobertos e descritos. Para entender como contradizer Euclides era um salto difícil. No seu tempo, o livro Os elementos, de Euclides, já era um clássico, Euclides não somente definiu a natureza matemática, mas o seu livro desempenhou um papel central como um modelo de pensamento lógico na educação e na filosofia natural. Foi uma obra-chave no renascimento intelectual da Idade Média. Foi um dos primeiros livros impressos após a invenção da imprensa por Gutenberg em 1545. Por mais de 2 mil anos, os pensadores em todas as partes permanecem dedicados a Euclides, não questionando seu deus em nenhuma questão do conteúdo, mas somente neste minúsculo ponto: o postulado horroroso das paralelas não podia ser demonstrado?

Há muitas histórias da infância de Carl Gauss. Ele conseguia fazer aritmética quase antes de começar a falar. A história mais famosa do talento precoce de Gauss aconteceu num sábado, em torno de seu terceiro aniversario. Seu pai estava calculando a folha de pagamento semanal de um grupo de trabalhadores. O cálculo estava demorando um pouco, e Gebhard não percebeu que seu filho estava observando. Carl disse algo como “Você somou errado, Deveria ser...”. Naquela ocasião, o pequeno menino Carl já tinha aprendido a ler sozinho. Dorotéia chamou um amigo de Carl, e lhe perguntou se ele era realmente um menino inteligente, e se assim fosse, onde isso levaria. Bolyai respondeu que Carl estava destinado a ser o maior de todos os matemáticos da Europa. Carl entrou na escola aos sete anos, mas so no terceiro ano na escola, finalmente permitiram que estudasse a aritmética para a qua já estava capacitado. Aos doze anos Gauss começou a criticar Os elementos, de Euclides, ele focalizou como outros tinham feito, no postulado das paralelas.

Aos 15 anos, Gauss tornou-se o primeiro matemático na história a aceitar a ideia de que poderia existir uma outra geometria logicamente consistente, no qual o postulado das paralelas de Euclides não valeria. Em 1795 com 18 anos de idade Carl ingressou na faculdade de Göttingen. Seu benfeitor foi ferido com uma bala, numa batalha contra Napoleão e veio a morrer. Ironicamente, mais tarde Napoleão pouparia a cidade da destruição por causa da presença de Gauss, comentando que “o principal matemático de todos os tempos morava lá”. Uma carta encontrada em 1927 por seu neto, ele tinha escrito:

Triste, eu passo sorrateiramente pelas pessoas alegres que me rodeiam. Se por alguns momentos elas me fazem esquecer minha tristeza, ela volta com força dobrada... Até o céu brilhante me entristece...

Gauss não queria ser considerado um dos maiores matemáticos se não tivesse tido uma profunda influência em muitas áreas da matemática. Mesmo assim, algumas vezes ele é considerado uma figura de transição, completando os desenvolvimentos iniciados por Newton, em vez de lançar as bases para futuras gerações. Entre 1813 e 1816, como professor ensinando astronomia matemática na universidade de Göttingen, Gauss finalmente fez o rompimento de barreiras definitivo que estava sendo aguardado desde Euclides: ele desenvolveu equações que relacionavam as partes de um triângulo num espaço não-euclidiano, cuja estrutura denominamos hoje geometria hiperbólica. Aparentemente por volta de 1824, Gauss tinha elaborado uma teoria completa. “A suposição de que a soma dos três ângulos(de um triângulo) é menor que 180° leva a uma geometria especial, bem diferente da nossa, que é absolutamente consistente, e que eu desenvolveu de modo bem satisfatório para si mesmo...” Gauss nunca publicou isto.

Na critica da razão pura, Kant chama o espaço euclidiano de “uma necessidade inevitável do pensamento”. Gauss não rejeitou a obra de Kant imediatamente. Ele a leu primeiro e depois rejeitou. Na verdade, diz-se que Gauss leu a Critica da razão pura cinco vezes, tentando entendê-la.

O que é um espaço não euclidiano? O espaço que Gauss, Bolyai e Lobachevsky descobriram – o espaço hiperbólico, é que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor do que 180°, por um número que Gauss chamou de defeito angular. Todos tentavam provar que o postulado das retas paralelas de Euclides, não havia explicação, pois não encontravam uma fundamentação convincente, mas, Gauss e outros matemáticos de sua época começavam a visualizar uma outra forma de geometria não-euclidiana, que Riemann também percebia. Enquanto isso, o poder da matemática como mais do que um jogo mental em si tornou-se mais evidente do que em qualquer outra área pela aplicação por Einstein dos recém-descobertos tipos de espaços matemáticos.



A história Einstein



Revolução à Velocidade da Luz

Gauss e Riemann mostraram que o espaço podia ser curvo e forneceram a matemática necessária para descrevê-lo.

A resposta, dada tão elegante e exata por Einstein em 1915, foi proposta na verdade pela primeira vez em 1854, em rápidas pinceladas por Riemann:

A questão da validade da geometria... está relacionada com a questão da base interna das relações métricas(distância) do espaço...nós devemos procurar a base de suas relações métricas fora dele, nas forças de ligação que agem nele...

Percebemos que ele já estava bem a frente de seu tempo para desenvolver uma teoria concreta e baseada na sua intuição. Mas outros matemáticos tentavam explicar suas conclusões, mas sempre se viam diante da razão que por mais de 200 anos, parecia que todos os eventos do universo eram explicados pela mecânica newtoniana. Sob o ponto de vista de Newton, o espaço é “absoluto”, uma estrutura fixa dada por Deus sobre a qual são lançadas as coordenadas de Descartes. Ao explicar que a mesma lei governa o movimento da terra e do espaço, Newton fez algo mais que era de igual importância: uniu duas disciplinas antigas e separadas – a física, que estava preocupada principalmente com a experiência humana do da-a-dia, e a astronomia, que se preocupara com o movimento dos corpos celestes.

Um texto publicado em 1860, de Adolph Ganot. Nele, Ganot descreve uma substância que se acreditava permear todo o universo: “Há um fluido sutil, imponderável e eminentemente elástico, chamado éter, distribuído por todo o universo; permeia a massa de todos os corpos, dos mais densos e mais opacos aos mais leves e mais transparentes”. De acordo com o ponto de vista de Huygens, Deus tinha feito o espaço como um grande aquário e o nosso planeta como um brinquedo flutuante que lançamos para distrair os peixes. O éter não é um gás, e sim um sólido permeando todo o universo. Entretanto, durante o resto do século, permaneceu como a visão aceita pela comunidade cientifica.

“Uma teoria dinâmica do campo magnético” e “ Um tratado sobre eletricidade e magnetismo”, respectivamente em 1865 e 1873, James Clerk (maxwell), a teoria do eletromagnetismo de Maxwell esta no mesmo nível que a mecânica, a relatividade e a teoria quântica como um dos pilares da física moderna. Maxwell não viveu o bastante para ver a questão do éter resolvida, mas 1879, escreveu uma carta sobre o assunto para seu amigo. Sua carta finalmente levaria à denominação experimental de que o éter não existe. A carta de Maxwell foi publicada postumamente na revista cientifica inglesa Nature. Em 1904, Lorentz e outros cientistas fizeram diversas descobertas curiosas, mas não perceberam suas implicações. A nova teoria de Lorentz introduzia a diferença de dois tipos de tempo, “tempo local” e “tempo universal”( mas considerva que o tempo universal era, de algum modo, a medida preferível).

A linha divisória entre as coisas temporais e o espaço sem tempo em que eles existiam estava se partindo. Que tipo de geometria emergiria depois?

Foi necessário que Albert Einstein formulasse uma teoria simples que explicava o comportamento observado da luz viajando através do espaço. Espaço e tempo foram unidos para sempre, e a tia deles, a geometria, ficou sem dúvida muito excêntrica.

Albert Einstein não foi um garoto prodígio, dizem que só aprendeu a falar com 3 anos de idade. Ainda criança era tímido e quieto, foi ensinado em casa por um professor particular, até o dia em que teve um acesso de raiva e jogou uma cadeira no seu professor. Na escola primária, seu boletim foi sofrível. Aos 13 anos de idade Einstein já mostrava habilidade excepcional em matemática, começou a estudar matemática avançada com um amigo mais velho e com um tio. Também estudou a obra de Kant, especialmente a sua visão sobre tempo e espaço. Por volta de 1895, o jovem Einstein também sabia sobre o experimento de Michelson-Morley, sobre o trabalho de Fizeau e sobre o de Lorentz. Einstein mudou-se para a Suíça, depois de muito trabalho conseguiu ingressar na universidade ETH(Escola Técnica Superior Suíça) e em 1902 ingressou no seu hoje famoso emprego no Escritório Suíço de Patentes da Suíça. Seu titulo pomposo era de Especialista Técnico de Terceira Classe em Treinamento. Sua “educação” deixada para traz, o cérebro de Einstein explodia com idéias revolucionarias em 1905, foi seu ano mais produtivo, a sua produção foi de seis artigos, cinco deles publicados naquele mesmo ano. Einstein aplicou a ideia quântica de Max Planck para explicar o limiar - se a luz consistia de partículas, mais tarde chamadas de fótons. Einstein foi o marco inicial na história da teoria quântica, em 1921, Einstein recebeu o premio Nobel de física por isso. Ainda quando aluno do ensino médio, Einstein tinha descoberto um livro sobre Euclides, e se tornou um fã incondicional, pois toda aquela geometria soava como poesia. Einstein conclui que a geometria euclidiana deve ser abandonada. Sua única pergunta era: abandonada em favor de que? Abandonar é fácil, difícil é construir. O que Einstein precisava , se fosse construir uma nova física, era de uma nova geometria que descrevesse a distorção do espaço. Foi ai que Einstein descobriu a obra de Riemann e outros sobre a geometria diferencial, era misteriosa e complexa. O primeiro teste real da relatividade geral, então, não era se a luz se curvava, mas quanto se curvava.

Considerando-se a resistência e o ódio do passado que teve de suporta, e o grande respeito e a adoração como herói que inspirou, a contribuição de Einstein à geometria é talvez melhor resumida na sua própria descrição prosaica. Ele escreveu sobre sua obra revolucionaria: “Quando um besouro cego rasteja sobre a superfície do globo, ele não sabe que a trajetória que percorreu é curva. Tive bastante sorte em descobrir isso”.



A história de Witten



A fonte da indeterminação em mecânica quântica está no principio da incerteza. De acordo com esse principio, algumas das características dos sistemas que são grandezas quantitativas na descrição newtoniana de movimento não podem ser escritas com exatidão ilimitadas.

Uma razão pela qual Einstein teve pouco apoio na sua busca da teoria do campo unificado foi porque o embate entre a relatividade geral e a mecânica quântica só aparece quando consideramos regiões do espaço tão pequenas que, mesmo hoje, não temos esperanças de observar diretamente. Mas Euclides afirmou que o espaço é feito por pontos e que a geometria deveria se aplicar a regiões tão pequenas quanto possamos imaginar. Se as teorias entram em conflito nessa área, deve haver algo de errado com uma ou com as duas teorias – ou com Euclides.

Witten é freqüentemente comparado com Einstein. Podem haver muitas razões para isso, mas a mais importante é, provavelmente, que os que fazem a comparação não ouviram sobre muitos outros físicos. Essa é realmente a maldição do status legendário de Einstein.

Em 1995, Edward Witten falou numa conferencia sobre a teoria das cordas na universidade do Sudoeste da Califórnia, Fazia onze anos desde a revolução das supercordas de Schwarz e, para muitas pessoas, a teoria das cordas parecia estar se desdobrando vagarosamente. A palestra de Witten mudou tudo. O que ele explicou foi outro milagre matemático: todas as cinco teorias de cordas diferentes, afirmou ele, são simplesmente diferentes formas aproximadas da mesma teoria mais ampla, agora chamada de tória M. Os físicos na audiência ficaram desconcertados.

A natureza evolui com uma ordem oculta. A matemática a revela. A teoria M será a bela teoria dos livros-texto dos cursos de física nas faculdades de amanhã, ou apenas uma nota de rodapé na palestra sobre história da ciência intitulada “Becos sem saídas”? Ainda não foi revelado se Schwarz é Oresme e Witten è Descartes, ou se juntos eles desempenham o papel de Lorentz, construindo uma teoria mecânica sem esperanças sobre o éter inexistente. Como um jovem cientista, Schwarz sabia apenas que a sua teoria era bonita demais para não servir de nada. Atualmente, toda uma geração de pesquisadores olha para a natureza e vê suas cordas. Seria difícil ver o mundo novamente do modo antigo.

A nossa busca por verdades mais profundas continua. Nós devemos ser gratos a Euclides e aos gênios que o seguiram, Descartes, Gauss, Einstein e – talvez, o tempo dirá – Witten; e a todos sobre cujos ombros eles subiram. Eles experimentaram a alegria da descoberta. Para o resto de nós, eles permitiram uma alegria igual, a alegria da compreensão.



Texto elaborado pelo professor Ivo R. Mello,

Do livro A janela de Euclides

A história da geometria, das linhas paralelas ao hiperespaço.

Leonard Mlodinow