INTRODUÇÃO À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

INTRODUÇÃO À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A idade da pedra durou vários milhares de anos, começando talvez já em 5.000.000 a.C. e indo até por volta de 3.000 a.C. Num mundo de vastas pastagens e savanas onde abundavam os animais selvagens e as pessoas eram principalmente caçadoras e colhedores. Suas vidas eram agrestes e difíceis, de maneira que elas viviam demasiado ocupadas e em permanente agitação para poderem desenvolver tradições cientificas. Depois de 3.000 a.C. emergem comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do rio Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente médio e ao longo do rio Amarelo na China. Essas comunidades criaram culturas nas quais a ciência e a matemática começa a desenvolver.

Ao se fazer um relato cronológico do desenvolvimento da matemática, a questão de por onde começar se impõe. Deve-se iniciar pelas primeiras deduções sistemáticas em geometria, creditados a Tales de Mileto, por volta de 600 a.C.? Ou se deve recuar mais no tempo e iniciar com obtenção de certas fórmulas de mensuração feitas pelas civilizações pré-helênicas da Mesopotâmia e do Egito? Ou se deve recuar ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforços tateantes feito pelo homem pré-histórico visando a sistematização das idéias de grandezas, forma e número? Ou se pode dizer que a matemática teve início em épocas pré-humanas com a manifestação de senso numérico e reconhecimento de modelos, embora muito limitadamente, por parte de alguns animais, pássaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas relações numéricas e espaciais das plantas? Ou até antes, nas nebulosas espiraladas, nas trajetórias de planetas e cometas e na cristalização de minerais em épocas pré-orgânicas? Ou será que a matemática, como acreditava Platão, sempre existiu, estando meramente a aguardar ser descoberta? Cada uma dessas origens possíveis comporta uma defesa.

Como usualmente se considera como a matemática mais antiga aquela resultante dos primeiros esforços do homem para sistematizar os conceitos de grandeza, forma e número, é por aí que começamos, focalizando de início o surgimento no homem primitivo do conceito de número e do processo de contar.

O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se tão antes dos primeiros registros históricos (há registros históricos de 50.000, o homem já era capaz de contar) que a maneira que ocorreram é largamente conjetural. É razoável admitir que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico, pelo menos a ponto de reconhecer mais ou menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns objetos de uma coleção pequena, pois há estudos que mostram que alguns animais são dotados desse senso. Com a evolução da sociedade, tornaram-se inevitáveis contagens simples. Uma tribo tinha que saber quantos era seus membros e quantos eram seus inimigos e tornava-se necessário a um homem saber se seu rebanho de carneiros estava diminuindo. Então, talvez mais tarde, desenvolveu-se um arranjo de sons vocais para registrar verbalmente o número de objetos de um grupo pequeno. E mais tarde ainda, com o aprimoramento da escrita, foram surgindo arranjos de símbolos para representar esses números. Esse desenvolvimento hipotético encontra-se respaldado em relatórios de antropólogos que estudaram povos primitivos em nossa época.

Bases

Quando se tornou necessário efetuar contagens mais extensas, o processo de contar teve de ser sistematizado. Isso foi feito dispondo-se os números em grupos básicos convenientes, sendo a ordem de grandezas desses grupos determinada em grande parte pelo processo de correspondência empregado. O método consistia em escolher certo número b como base e atribuir nomes aos números. Para os números maiores do que b os nomes eram essencialmente combinações dos nomes dos números já escolhidos.

Números digitais e números escritos.

Além dos números falados, numa certa época usaram-se largamente os números digitais(representados por meio dos dedos). Com o tempo, os números digitais forma estendidos a abranger os números maiores que ocorriam nas transações comerciais; perto da idade média eles tinham se tornados internacionais. No desenvolvimento final, os números 1,2, ... , 9 e 10, 20, ... , 90 eram representados na mão esquerda e os números 100, 200,... , 900 e 1000, 2000,..., 9000 na mão direita. Por exemplo, os livros de matemática da renascença traziam figuras dos números digitais.

Embora os números digitais tivessem sido originados em épocas muito remotas, ainda são usados hoje por povos primitivos da África, por árabes e por persas. Nas Américas do Sul e do Norte, Alguns indígenas e algumas tribos de esquimós ainda usam os dedos.

Sistema de agrupamento simples.

Talvez o mais antigo tipo de sistema de numeração a se desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamento simples. Nessa modalidade de sistema escolhe-se um número b como base e adotam-se os símbolos. Então, qualquer número se expressa pelo uso desses símbolos aditivamente. Os hieróglifos  egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano de 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples.

Sistemas de agrupamentos multiplicativos.

Nesse tipo de sistema, após se escolher uma base b, adotam-se os símbolos e um segundo conjunto de símbolos. O sistema de numeração chinês-japonês tradicional é um exemplo de sistema de agrupamento multiplicativo de base 10.

Sistemas de numeração cifrados.

O sistema de numeração grego, conhecido como jônico ou alfabético, cujas origens situam-se já por volta de 450 a.C., é um exemplo desse sistema cifrado. Ele é decimal e emprega 27 caracteres – as 24 letras do alfabeto grego mais três outras obsoletas.

Computação primitiva.

Muitos dos modelos de computação usados hoje na aritmética elementar, tais como para a realização de multiplicações e divisões, somente surgiram no século XV.  Duas razões são em geral aventadas para explicar esse desenvolvimento tardio: as dificuldades intelectuais e as dificuldades materiais encontradas nesse trabalho.

Sistema de numeração Indo-Arábico.

O sistema de numeração indu-arábicos tem esse nome devido aos hindus, que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa ocidental, o seu período é um tanto desconhecido esta por volta de 250 a.C. até 200 d.C., essas primeiras amostras não contêm o número zero e não utilizavam a notação posicional. A ideia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na Índia algum tempo antes de 800 d.C., pois o matemático persa al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro do ano de 825 d.C.

A MATEMÁTICA BABILÔNICA E EGÍPCIA

O período de 3000 a 525 a.C. testemunhou o nascimento de uma nova civilização humana cuja centelha foi uma revolução agrícola. Novas sociedades baseadas na economia agrícola emergiram das nevoas da idade da pedra nos vale dos rios Nilo, Amarelo, Indo, Tigre e Eufrates. Esses novos povos criaram escritos; trabalham metais; construíram cidades; desenvolveram empiricamente a matemática básica da agrimensura, da engenharia e do comercio; e geraram classes superiores que tinham tempo bastante de lazer para se deter e considerar os mistérios da natureza. Depois de milhões de anos, afinal a humanidade tomava a trilha das realizações cientificas. Com a drenagem dos pântanos, o controle de inundações e a irrigação eram possíveis transformar as terras ao longo desses rios em regiões agricultáveis ricas. Esses projetos serviram para desenvolver a engenharia, os financiamentos motivaram e requeriam o desenvolvimento de considerável tecnologia e da matemática concomitante. Essas atividades requeriam o calculo de um calendário utilizável. O desenvolvimento de um sistema de pesos e medidas para ser empregada na colheita para a construção de canais e reservatórios e para dividir a terra e a instituição de práticas financeiras e comerciais para o lançamento e a arrecadação de taxas e para propósitos mercantis. (Há uma tese alternativa que localiza a origem da matemática em ritos religiosos, sendo posteriores as contribuições da agricultura, comercio e agrimensura.)

Os arqueólogos vêm trabalhando na Mesopotâmia sistematicamente desde antes da metade do século XIX, tendo já desenterrado meio milha de tábuas de argila, quase 400 foram identificadas como estritamente matemáticas, constituídas que são de tábuas e listas de problemas matemáticos.

Devemos nosso conhecimento da matemática babilônica antiga ao sábio trabalho de decifrar e interpretar muitas dessas tábuas matemáticas.

Mesmo as tábuas mais antigas mostram um alto grau de habilidade computacional e deixam claro que o sistema sexagesimal posicional já estava de longa data estabelecido, envolvem multiplicação, tábuas de inversos multiplicativos, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais.

O calendário usado pelos babilônios já estava estabelecido muitos séculos antes ficam evidenciados pelo fato de que o ano nesse calendário começa no equinócio vernal e que o primeiro mês recebia o nome de touro. Ora, o sol encontrava-se em touro nesse equinócio por volta do ano 4700 a.C. Assim parece seguro dizer que os babilônios já contavam com certo tipo de aritmética perto do 4º ou 5º milênio a.C.

Geometria

A geometria babilônica se relaciona intimamente com a mensuração pratica. De numerosos exemplos concretos infere-se que os babilônicos do período 2000 a.C. a 1600 a.C. deviam estar familiarizado com as regras gerais da área do retângulo, da área do triangulo retângulo e do triângulo isósceles (e talvez da área de um triângulo genérico), da área de um trapézio retângulo, do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, o volume de um prisma reto de base trapezoidal.

A marca principal da geometria babilônica é seu caráter algébrico. Os problemas mais intrincados expressos em terminologia geométrica são essencialmente problemas de álgebra não-triviais.

Álgebra

Perto do ano 2000 a.C. a aritmética babilônica já havia evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida. Não só se resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao método da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também se discutiam algumas cúbicas (grau três) e algumas biquadradas (grau quatro).

Plimpton 322

Talvez a mais notável das tábuas matemáticas babilônicas já analisadas. A tábua foi escrita no período babilônico antigo (aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.) e os primeiros a descrever seu conteúdo foram Neugebauer e Sachs em 1945. Percebemos as diversas situações que envolvem a matemática em especial um terno de números inteiros, como (3,4,5), cujos os termos são lados de um triangulo retângulo, é chamado terno pitagórico.

Egito

Fontes e datas.

São muito diferentes as historias políticas do Egito e da Babilônia antigos. Esta última era aberta a invasões de povos vizinhos e, como conseqüência, havia períodos de muita turbulência em que um império sucedia o outro. O Egito antigo, ao contrario,manteve-se no isolamento, protegido naturalmente de invasões estrangeiras, governado pacifica e ininterruptamente por uma sucessão de dinastias. Ambos eram sociedades eram teocráticas governadas por burocratas ricos e poderosos, íntimos da classe sacerdotal. A maior parte do trabalho manual era feita por uma classe escrava numerosa.

3100 a.C. Num museu de Oxford há um cetro real egípcio datado dessa época. Nesse cetro estão gravados em hieróglifos egípcios alguns números da ordem de centenas de milhares e milhões, superestimando os resultados de uma vitoriosa campanha militar.

2600 a.C. A grande pirâmide de Gizé  nas proximidades da atual Cairo, foi construída nesta época, indubitavelmente envolvia alguns problemas matemáticos e de engenharia. A estrutura cobre uma área de 526 acres e contém mais de 2.000.000 de blocos de pedras com, em media, 2,5 toneladas de peso cada um, Esses blocos eram transportados de uma pedreira do outro lado do rio Nilo. Havia outros tamanhos de blocos que eram transportados de distâncias ainda maiores. Segundo consta, o erro relativo envolvendo os lados da base quadrada é inferior a 1/14000 e o erro relativo envolvendo os ângulos retos dos vértices da base não excede 1/27000. Esses dados pressupõem uma perícia profunda na arte da engenharia, mas essa estatística impressionante se atenua consideravelmente quando se torna ciência de que tal tarefa foi realizada por um exército de 100.000 trabalhadores num período de 30 anos. 

1850 a.C. Essa é a data aproximada do papiro Moscou ou Golenischev, um texto matemático que contém 25 problemas já antigos quando o manuscrito foi compilado, contém também 110 problemas incluídos nos papiros são numéricos, e boa parte deles muito é simples. Embora a maioria tenha origem pratica, há alguns de natureza teórica. Vinte e seis dos 110 problemas são geométricos. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de três polegadas de altura. Encontra-se no museu de belas-artes de Moscou.

Data também dessa época o mais antigo instrumento astronômico existente, um misto de fio de prumo e colimador. Encontra-se preservado no museu de Berlim.

1650 a.C. Essa é a data aproximada do papiro Rhind(ou Ahmes), um texto matemático na forma de manual pratico que contem 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalhos mais antigo. O papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind, sendo mais tarde comprado pelo museu Britânico.

O papiro Rhind é uma fonte primaria rica sobre a matemática egípcia antiga descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios.

1500 a.C. O museu de Berlim possui um relógio de sol que data dessa época. É o relógio de sol mais antigo do mundo.

1167 a.C. Data do papiro Harris, relata ás grande obras de Ramsès III, Ransés II em Abu Simbel, a grande esfinge situada perto da grande pirâmide de Giseh e o templo de Amon-Re em karnak, o templo foi concluído nos anos de 1200 a.C., com sua obra de 78 pés de altura, é o maior vestíbulo colunar jamais construído pelo homem.

A MATEMÁTICA.

O berço da matemática demonstrativa

Os últimos séculos do secundo milênio a.C. testemunharam muitas mudanças econômicas e políticas. Algumas civilizações desapareceram, o poder do Egito e da Babilônia declinou, e outros povos, especialmente os hebreus, os assírios, os feniceos e os gregos, passaram ao primeiro plano. A idade do ferro que se anunciava trazia consigo mudanças profundas no que se refere à guerra e a todas as atividades que exigiam instrumentos ou ferramentas. Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas. O comercio foi crescentemente incentivado e se fizeram muitas descobertas geográficas. O mundo estava pronto para um novo tipo de civilização.

“Pela primeira vez na matemática, como em outros tempos, o homem começou a formular questões fundamentais como “Por que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais” e “Por que o diâmetro de um círculo divide esse círculo ao meio”.

Segundo a tradição a geometria demonstrativa começou com Tales de Mileto, um dos “sete sábios” da antiguidade, durante a primeira metade do sexto século a.C.

Tales Começou sua vida como mercador, tornando-se rico o bastante para dedicar a parte final  de sua vida ao estudo e a algumas viagens. Diz-se que ele viveu algum tempo no Egito, e que despertou admiração ao calcular a altura de uma pirâmide por meio da sombra. De volta a Mileto ganhou reputação, graças ao seu gênio versátil, de estadista, conselheiro, engenheiro, homem de negócios, filosofo, matemático e astrônomo. Tales é o primeiro personagem conhecido a quem se associam descobertas matemáticas. Em geometria, creditam-se a ele os seguintes resultados elementares.

1- Qualquer diâmetro efetua a bi secção do circulo em que é traçado.

2- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.

3- Ângulos opostos pelo vértice são iguais.

4- Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente são iguais, então esses triângulos são iguais. (Tales talvez tenha usado esse resultado na demonstração que fez da distância de um navio à praia).

5- Um ângulo inscrito num semicírculo é reto. (esse resultado era do conhecido dos babilônios cerca de 1400 anos antes.)

O valor desses resultados não deve ser aquilatado por eles mesmos, mas antes pela crença de que Tales obteve-os mediante alguns raciocínios lógicos e não pela intuição ou experimentalmente.

Pesquisas recente indicam que não há nenhuma evidência que sustente a histórias muitas vezes repetidas de que tales previu o eclipse solar ocorrido em 585 a.C.

PITÁGORAS E OS PITAGÓRICOS

A historia dos 300 primeiros anos da matemática grega foi obscurecido pela grandeza dos elementos de Euclides, escritos por volta de 300 a.C. De fato, essa obra eclipsou tanto os trabalhos dos matemáticos gregos anteriores que acabaram sendo descartados e por fim se perderam para nos. Como observou certa vez o eminente matemático do século passado, David Hilbert, pode-se medir a importância de um trabalho cientifico pelo número de publicações anteriores tornadas supérfluas por ele.

É difícil avaliar o debito da matemática grega primitiva com a matemática oriental; tampouco está satisfatoriamente elucidado o caminho de transmissão de uma para a outra. Os autores gregos não deixaram de manifestar seu respeito pela sabedoria oriental, e essa sabedoria era a todos que pudessem viajar ao Egito e a Babilônia. O misticismo grego primitivo em matemática deixa transparecer uma forte influencia oriental e alguns escritos gregos mostram uma perpetuação helênica da tradição mais aritmética do oriente. Há também fortes elos ligando a astronomia grega à Mesopotamia.

Nossa principal fonte de informações a respeito dos primeiros passos da matemática grega é o chamado Sumário Eudemiano de Proclo, esse Sumário consiste nas páginas de abertura do Comentário sobre Euclides.

O próximo matemático ilustre a ser mencionado é Pitágoras, envolto numa névoa tal de misticismo por seus seguidores que pouco se sabe sobre ele com algum grau de certeza. Ao que parece Pitágoras nasceu por volta de 572 a.C. na ilha egéa de Samos. É possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales, pois era cinquenta anos mais novos do que este e morava perto de Mileto, onde vivia Tales. Depois parece que residiu algum tempo no Egito e pode mesmo ter-se abalançado a viagens mais extensas. Ao retornar a Samos encontrou o poder nas mãos do tirano Polícrates e a Jônia sob o domínio persa; decidiu então emigrar para o porto marítimo de Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália. Lá ele fundou a famosa escola pitagórica, que, além de ser um centro de estudo de filosofia, matemática e ciências naturais, era também umas irmandades estreitamente unidas por ritos secretos e cerimônias. A irmandade torna-se tão grande que forças democráticas do sul da Itália destruíram os prédios da escola fazendo com que a confraria se dispersasse. Segundo um relato, Pitágoras fugiu para Metaponto onde morreu já com uma idade avançada.

A filosofia pitagórica baseava-se na suposição de que a causa ultima das várias características do homem e da matéria são os números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico.

Como os ensinamentos da escola eram inteiramente orais e como era costume da irmandade atribuir todas as descobertas ao reverenciado fundador.

Jâmblico, um influente filósofo neoplatônico que viveu por volta de 320 d.C. atribui a Pitágoras a descoberta dos números amigáveis. Dois números se dizem amigáveis se cada um deles é igual à soma dos divisores próprios do outro, Por exemplo, 284 e 220. Os dois números vieram a ter um papel importante na magia, na feitiçaria, na astrologia e na determinação de horóscopos. Um novo par de números amigáveis só foi descoberto pelo especialista francês Pierre de Fermat, que anunciou em 1636 um novo par formado por 17296 e 18416, René Descartes também teve sua participação encontrando o terceiro par, Leonard Euler em 1747, deu uma lista de 30 números, então todos os números amigáveis inferiores a um milhão já foram encontrados.

Também atribuem aos pitagóricos os números perfeitos, deficientes e abundantes que apresentam ligações místicas essenciais a especulações numerológicas. Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores próprios, deficiente se excede a soma de seus divisores próprios e abundantes se é maior que a soma de seus divisores próprios. Assim Deus criou o mundo em seis dias, um número perfeito. Por outro lado, conforme observou Alcuíno (735-804), toda a raça humana é descendente das oito almas da arca de Noé, sendo essa criação imperfeita por que oito é deficiente, já que 1+2+4<8. Até 1952, conheciam-se apenas doze números perfeitos, todos pares, dos quais os três primeiros são 6, 28 e 496. Os números de pontos em certas configurações geométricas representam um elo entre a geometria e a aritmética, que são os números triangulares, números quadrados, números pentagonais e assim por diante.

A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras a descoberta independente do teorema sobre triângulos hoje universalmente conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos.  Já vimos que esse teorema era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras

A descoberta das grandezas irracionais

Os números inteiros são abstrações que surgem do processo de contar coleções finitas de objetos. Mas as necessidades da vida diária requerem, além da contagem de objetos individuais, a medição de várias quantidades, como comprimento, peso e tempo. Para satisfazer essas necessidades básicas referentes às medições necessita-se de frações, pois raramente acontece de um comprimento, para citar um exemplo, cortar um número exato de vezes uma unidade linear. Definindo-se, assim, um número racional como o quociente p/q, q diferente de 0. Então, para cada número racional, há um ponto na reta. Para os primeiros matemáticos, parecia evidente que todos os pontos da reta seriam usados dessa maneira. Deve ter sido um choque descobrir que há pontos da reta que não correspondem a nenhum número racional. Essa descoberta foi uma das grandes realizações dos pitagóricos. A descoberta da existência dos números irracionais foi surpreendente e perturbadora para os pitagóricos. Em primeiro porque parecia desferir um golpe mortal na filosofia pitagórica da qual tudo dependia dos números inteiros. Além disso, parecia contrario ao senso comum, pois intuitivamente havia o sentimento de que toda grandeza podia ser expressa por algum número racional. A contra partida geométrica era igualmente espantosa, pois quem poderia duvidar que, dados dois segmentos de reta, sempre seria possível encontrar um terceiro segmento de reta, talvez muito, muito pequeno, que coubesse um número inteiro de vezes em cada um dos dois segmentos dados? Existem então segmentos de reta incomensuráveis, isto é segmentos de reta para os quais não há uma unidade de medida comum.

A descoberta da irracionalidade provocou uma consternação nos meios pitagóricos. Tão grande foi o “escândalo lógico” que por algum tempo se fizeram esforço para manter a questão em sigilo. Conta uma lenda que o pitagórico Hipaso foi lançado ao mar pela a ação ímpia de revelar o segredo a estranhos ou (de acordo com outra versão) que ele foi banido da comunidade pitagórica, sendo-lhe ainda erigido um túmulo, como se tivesse morto. Por algum tempo, raiz de dois foi o único número irracional conhecido, mais tarde, segundo Platão, Teodoro de Cirene provaram que outras também são irracionais. O magistral tratamento dos incomensuráveis formulado por Eudoxo aparece no quinto livro dos Elementos de Euclides, e essencialmente coincide com a exposição moderna dos números irracionais dadas Poe Dedekind em 1872.

Identidades Algébricas

Atribuem-se aos pitagóricos parte considerável dessa álgebra geométrica que se acha espalhada por vários dos primeiros livros dos Elementos de Euclides. Assim, o livro II dos Elementos contém várias proposições que em realidade são idênticas algébricas envolvidas numa terminologia geométrica. Parece bastante certo que essas proposições tenham sido desenvolvidas pelos primeiros pitagóricos, através de métodos de decomposição.

Resolução geométrica de equações quadráticas.

Transformações de áreas.

Os sólidos regulares.

O PERÍODO DE TALES A EUCLIDES

Nesse meio tempo a Pérsia havia se tornado um grande império militar e, seguindo o programa expansionista inevitável ditado por uma economia baseada na escravidão, empreendeu a conquista das cidades Jônicas e das colônias gregas da Ásia menos em 546 a.C. Como resultado, muitos filósofos gregos, como Pitágoras e Xenófanes, abandonou sua terra natal em troca das prosperas colônias gregas do sul da Itália.

A importância de Platão na matemática não se deve a nenhuma das descobertas que fez, mas, isto sim, à sua convicção entusiástica de que o estudo da matemática fornecia o mais refinado treinamento do espírito e que, portanto, era essencial que fosse cultivado pelos filósofos e pelos que deveriam governar seu estado ideal. Isso explica o famoso lema à entrada da Academia: Que aqui não adentrem aqueles não-versados em geometria. A matemática parecia a mais alta importância a Platão devido ao seu componente lógico e à atitude espiritual abstrata gerada por seus estudos.

Mecaecmo, amigo de Platão e discípulo de Eudoxo, inventou as secções cônicas.

Teetedo, um homem de talentos naturais pouco comuns, a quem provavelmente devemos grande parte do material do décimo e do décimo terceiro livro dos Elementos de Euclides, foi outro discípulo ateniense de Teodoro. Deve-se mencionar também Aristóteles que embora não fosse um matemático declarado, foi o sistematizador da lógica dedutiva, alem de ter deixado vários escritos sobre temas da física; alguma parte de sua analytica posteriora revelam um domínio raro do método matemático.

Linhas do desenvolvimento matemático.

Primeiro temos o desenvolvimento do material que acabou se organizando nos Elementos, iniciando habilmente pelos pitagóricos e acrescido depois por Hipócrates, Eudoxo, Teodoro e outros.

Em segundo lugar há o desenvolvimento de noções relacionadas com infinitésimos e infinitos, processos somatórios que só foram esclarecidos de vez com a invenção do cálculo nos tempos modernos.

A terceira linha de desenvolvimento é a da geometria superior, ou geometria de curvas outras que não são retas e a circunferência e superfícies outra que não o plano e a esfera.

Os três famosos problemas.

1-      Duplicação do cubo ou o problema de construir o lado de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado.

2-      Trissecção do ângulo ou o problema de dividir um ângulo arbitrário dado em três partes iguais.

3-      Quadratura do circulo ou o problema de construir um quadrado com área igual à de um circulo dado.

A importância desses problemas reside no fato de que eles não podem ser resolvidos, a não ser aproximadamente, com régua e compasso, embora esses instrumentos sirvam para a resolução de muitos outros problemas de construção.

Instrumentos de Euclides.

Com os postulados dos Elementos de Euclides restringem o uso da régua e o do compasso de acordo com as regras, esses instrumentos, assim utilizados, tornaram-se conhecidos como instrumentos euclidianos. Nota-se que a régua não tem escala, mas é possível trisseccionar um ângulo, observamos também que o compasso de Euclides difere dos compassos modernos, uma vez que com este é permitido traçar um círculo com centro em qualquer ponto e tendo como raio um segmento AB qualquer. Mas é bastante curioso que os dois instrumentos sejam equivalentes.

CRONOLOGIA DE PI

Estreitamento ligado ao problema da quadratura está o do cálculo de Pi, razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. No oriente antigo tomava-se freqüentemente o número 3 como valor de Pi, para a quadratura do círculo egípcia dada no papiro Rhind, temos Pi = (4/3) 4ª potencia = 3,1604... porém, a primeira tentativa de calcular Pi parece ter sido de Arquimedes.

240 a.C. Arquimedes concluiu que Pi esta entre 223/71 e 22/7, ou que, até a segunda casa decimal  Pi = 3,14, este trabalho se intitula A medida de um círculo.

150 d.C. Depois de Arquimedes, a primeira aproximação notável de Pi foi dada por Cláudio Ptolomeu em sua famosa Syntaxis mathematica( mais conhecida por seu titulo árabe de almagesto) a maior obra de astronomia produzida na Grécia antiga. O valor de Pi dado nesse trabalho é, a notação sexagesimal, 3 8’30”, que é 377/120 ou 3,1416, esse valor foi obtido a partir de uma tábua de cordas que há no tratado.

480. O mecânico chinês Tsu Ch’ung-chih deu a interessante aproximação racional 355/113=3,1415929...

530. Um dos mais antigos matemáticos hindus, Aryabhata, deu 62832/20000=3,1416, como valor aproximado, não se sabe como este valor foi obtido.

1150. O matemático hindu posterior, Bhaskara, deu várias aproximações de Pi. Sendo 3927/1250  como um valor acurado , 22/7  como um valor impreciso e raiz de 10 para trabalhos corriqueiros.

1429. Al-kashi, assistente do astrônomo real de samarcanda, Ulugh Beg, calculou Pi até a décima sexta casa decimal pelo método clássico.

1579. O eminente matemático francês François Viète encontrou Pi corretamente até a nona casa decimal pelo método clássico usando, usando polígonos.

1585.  Adriaen Anthoniszoon redescobriu a antiga razão chinesa 355/113. Aparentemente foi um golpe de sorte, pois tudo o que ele demostrou foi que 377/120>Pi>333/106. Ele então fez a média aritmética dos numeradores e denominadores para obter o valor exato.

1593. O holandês Adrian Van Roomen, mais conhecido como Adrianus Romanus, determinou Pi corretamente até a décima quinta casa decimal pelo método clássico.

1610. O holandês Ludolph Van Ceulen calculou Pi até a trigésima quinta casa decimal pelo método clássico.

1621. O físico Holandês Willebrord Snell, mais conhecido por sua descoberta da lei da refração, descobriu um aperfeiçoamento trigonométrico do método clássico de calcular Pi tal que, em 1654 o matemático e físico holandês Christiaan Huygens forneceu uma demonstração correta do refinamento de Snell.

1630. Usando o refinamento de Snell, Grienberger calculou Pi até a trigésima nona cas decimal. Essa foi a última tentativa importante de calcular Pi pelo método dos perímetros.

1650. O matemático inglês Jonh Wallis obteve a expressão Pi/2 = 2*2*4*4*6*6*8.../1*3*3*5*5*7*7..., estas expressões não serviram para um calculo longo de Pi.

1671. O matemático escocês James Gregory Obteve uma serie infinita.

1699. Abraham Sharp encontrou acertadamente as primeiras setenta e uma casas decimais de Pi usando a serie de Gregory.

1986. em janeiro de 1986 D.h. Bailey da NASA, fez funcionar um supercomputador Cray-2 por 28 horas para obter Pi com 29.360.000 dígitos. Seu código baseava-se num algoritmo.

ALEXANDRIA

O período que se seguiu à guerra do Peloponeso foi marcado pela desunião política entre os estados gregos; assim, tornaram-se presa fácil do então forte reino da Macedônia, situado ao norte. O clamor das admoestações de Demóstenes foi ignorado e o rei Felipe da Macedônia foi gradualmente estendendo o seu poder para o sul. Os gregos reagruparam-se muito tarde para tentar, com possibilidade de êxito, defender-se e, com a derrota de Atenas em Queronéia (338 a.C.) a Grécia tornou-se parte do império Macedônio.

Dois anos após a queda dos estados gregos, Felipe foi sucedido por seu filho, o ambicioso Alexandre, o Grande, que em seguida deu inicio a uma carreira de conquistas sem paralelo. Na trilha de suas tropas Alexandre foi fundando novas cidades. Foi assim que se deu a fundação de Alexandria, no Egito, em 332 a.C. A construção ficou a cargo do arquiteto Denócrates. Desde o inicio, Alexandria mostrou que era umas cidades promissoras, devidas sua localização privilegiada, num entroncamento de importante rota comercial, enriqueceu e se tornou um o centro mais suntuoso e cosmopolita do mundo. Por volta de 300 a.C. tinha 500.000 habitantes.

Depois da morte de Alexandre, em 323 a.C., seu império se dividiu entre alguns de seus lideres militares, resultando na emergência de três impérios, com governos independentes, mas unidos pelos laços da civilização helênica decorrente das conquistas de Alexandre. O Egito coube a Ptolomeu que, no entanto, somente em 306 a.C. começou a governar efetivamente. Escolheu Alexandria como sua capital e, para atrair homens de saber à sua cidade, imediatamente começou a construir a famosa universidade de Alexandria.

Para montar uma equipe de intelectuais de alto gabarito na universidade, Ptolomeu recorreu a Atenas, convidando o ilustre Demétrio Faleiros para dirigir a grande biblioteca. Homens de talento e capacidade foram escolhidos para desenvolver os vários campos de estudo. Euclides, possivelmente oriundo de Atenas, foi escolhido para chefiar o departamento de matemática.

Euclides – É desapontador, mas pouco se sabe da vida e a personalidade de Euclides, salvo que foi ele, segundo parece, o criador da famosa e duradoura escola de matemática de Alexandria da qual, sem duvida, foi professor.

Os “Elementos” de Euclides

Embora Euclides fosse o autor de pelo menos dez trabalhos (textos razoavelmente completos de cinco deles chegaram até nós), sua fama repousa principalmente sobre seus Elementos. Nenhum trabalho exceto a bíblia foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico. Mais de mil edições impressas dos Elementos. Já apareceram desde a primeira delas em 1482.

A primeira tradução latina completa dos Elementos  não foi feita do grego mas sim do Árabe. No século VIII os árabes fizeram traduções de muitos manuscritos bizantinos de trabalhos gregos.

 O conteúdo dos “Elementos”

Contrariamente a impressão muito difundida, os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria – contêm também bastante teoria dos números e álgebra elementar (geométrica). O livro se compõe de 465 proposições distribuídas em treze livros. O texto de geometria plana e espacial da escola secundaria americana trazem basicamente o material que se encontra nos livros I, III, IV, VI, XI, XII dos elementos.

Cenário historco

A cidade de Alexandria desfrutava de muitas vantagens, dentre as quais a duradoura paz com o resto do mundo certamente não era a menor. Durante o reinado dos Ptolomeus, que durou quase 300 anos. Quase que sem exceção, os matemáticos da antiguidade a serem discutidos ou foram professores ou alunos da universidade de Alexandria.

Roma dominou o período final dos tempos antigos. Em 212 a.C. Siracusa se rendeu ante a um cerco romano; em 146 a.C. foi a vez de Cartago cair diante do poder da Roma imperial, e no mesmo ano com a queda da última cidade grega, Corinto, a Grécia tornou-se província do império Romano. A Mesopotamia só foi conquistada em 65 a.C. e o Egito permaneceu sob os Ptolomeus ate 30 a.C. À civilização grega difundiu-se pela vida romana e o cristianismo começou a se alastrar, principalmente entre os escravos e os pobres.

Constantino, o Grande, foi o primeiro imperador Romano a adotar o cristianismo, elevando-se inclusive a religião oficial. Em 330 d.C. Constantino mudou sua capital de Roma para Bizâncio, que passou a se chamar Constantinopla. Em 395 d.C. o império Romano se dividiu em duas partes: o império Oriental e o império Ocidental, sendo a Grécia parte do primeiro.

A estrutura dos dois impérios era essencialmente agrícola, com amplo emprego do trabalho escravo. A escola de Alexandria foi gradualmente se debilitando ao mesmo tempo a sociedade antiga se desintegrava. O pensamento criativo cedeu lugar as compilações e comentários. Dias tumultuados seguiam-se às porfias entre cristãos e pagãos até que finalmente, 641 d.C. Alexandria foi tomada pelos árabes.

Arquimedes natural da cidade grega de Ciracusa figura entre os maiores matemáticos de todos os tempos. Os historiadores romanos deixam relatos de muitas historias pitorescas sobre Arquimedes. Dentre essas as descrições dos engenhos criativos e inventados por ele, havia catapultas móveis, guindastes, conjuntos de polias e também a historia de como ele fez por justificar a afirmação, “Dê-me uma alavanca que moverei a terra”. Arquimedes deixou vários trabalhos escritos: a medida de um círculo, Aquadratura da parábola e sobre as espirais, equilíbrio de figuras planas, sobre os corpos flutuantes e recentemente foi encontrado O Método.

Erastóstenes, natural da cidade de Cirene, passou grande parte de sua vida em Atenas, foi convidado por Ptolomeu III do Egito a mudar-se para Alexandria e ser tutor de seu filho bibliotecário-chefe da universidade local.

Apolônio, nasceu em Perga, no sul da Ásia menor, pouco se conhece sobre a vida de Apolônio, ficou conhecido como o grande geômetra sua obra principal foi a “secções cônicas” , os nomes elipse, parábola e hipérbole foram introduzidas por ele.

Álgebra grega – Uma das melhores fontes de problemas algébricos gregos é a coleção conhecida como Palatine ou Antologia grega. Trata-se de uma coleção de quarenta e seis problemas numéricos, em forma epigramática, reunida por volta de 500 d.C. pelo gramático Metrôdoro.

Diofanto teve uma importância enorme para o desenvolvimento da álgebra e uma grande influencia sobre os europeus que posteriormente se dedicaram à teoria dos números, escreveu três trabalhos, o mais importante foi Aritmética, que é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números.

Hipátia destacou-se em matemática, medicina e filosofia e escreveu comentários sobre a Aritmética de Diofanto e as secções cônicas de Apolônio. Trata-se da primeira mulher a se dedicar a matemática, foi barbaramente assassinada por um bando de fanáticos cristãos em 415. O destino da escola de Alexandria na mão dos cristãos foi um pouco melhor do que a escola ateniense, posto que culminasse a existir, ao menos parcialmente, até 641, quando Alexandria tombou ante as árabes. Estes, então atearam fogo no que os cristãos tinham deixado. A longa e gloriosa historia da matemática chegava ao fim.   

Fontes e Períodos

A Matemática Chinesa, hindu e árabe.

Embora as civilizações da china ao longo dos rios Yang-Tze e Howang Ho, provavelmente sejam posteriores à civilização egípcia ao longo do rio Nilo  e à Babilônica, entre o Tigre e o Eufrates, muito pouca material de natureza primaria oriundo delas chegou até nós. Isto em virtude de os povos da época com certeza fazerem muitos de seus registros em bambu, um material perecível. E, para agravar, o egoísta imperador Shï Huang-ti ordenou em 213 a.C. uma lamentável queima de livros. A despeito de ameaças e represálias severas, o edito do imperador certamente não foi levado a efeito completamente; mas como muitos dos livros queimados foram reconstituídos de memória, hoje há duvidas sobre grande parte do material bibliográfico que se alega ser anterior aquela data infeliz.

Um relato da historia da matemática na china antiga começa no período Shang, com algumas inscrições em ossos e carapaças de tartarugas que revelam um sistema de numeração decimal bastante próximo do sistema multiplicativo chinês-japonês tradicional, teve um papel importante no caráter matemática da china antiga, que girava em torno de cálculos, que eram efetuadas em tabuas de contar. O familiar ábaco chinês, o suan pan, que consiste em contas móveis.

Um dos trabalhos chineses mais antigos, o I-King, ou livro das permutações, também data do período Shang, pois se pretende que tenha sido escrito por Wön-wang(1182-1135 a.C). Nele aparece o liang I, ou “os dois princípios”(o masculino yang -, e o feminino ying,--). A partir deles formam-se as seguintes oito figuras, chamadas Pa-kua.

Do tang através do ming.

Durante a dinastia Tang reuniu-se uma coleção dos mais importantes livros de matemática disponível, para uso de exames oficiais imperiais. A imprensa inaugurou no século VIII, mas o primeiro livro de matemática impresso de que se tem noticia só apareceu em 1084. Num trabalho escrito por certo Wang Hs’iao-t’ung, por volta de 625, encontra-se a primeira equação cúbica da matemática chinesa.

Ch’in reencetou a abordagem das equações indeterminadas onde Sun Tzï havia parado. Foi ele o primeiro chinês a dar um símbolo especifico para o zero: uma circunferência. Foi um dos matemáticos que generalizaram o método de extração de raízes quadradas para equações de grau superior, de uma maneira que leva ao método numérico de resolução de equações algébricas hoje conhecidas como método de Horner, uma vez que foi descoberta independentemente pelo mestre-escola inglês Willian Geoge Honer.

Após o declínio da matemática grega clássica, a matemática da china tornou-se uma das mais criativas do mundo. Enquanto a Europa Ocidental atravessava o marasmo cultural da baixa idade Média.

Índia

Pouco se sabe sobre o desenvolvimento da matemática hindu, em virtude da falta de registros autênticos. A fonte histórica preservada mais antiga são as ruínas de uma cidade de 5000 anos, encontradas em Mohenjo Daro, um sítio localizado a nordeste da cidade de Karachi no Paquistão. Vestígios de ruas largas, habitações de tijolos com banheiros ladrilhados, redes de esgoto subterrâneas e piscinas publicas indicam uma civilização tão adiantada quanto qualquer outra do Oriente antigo.

O grau de influencia da matemática grega, da babilônica e da chinesa sobre a matemática hindu e vice-versa, ainda é uma questão não esclarecida, mas há evidências de que em ambos os sentidos ela foi apreciável. Um dos benefícios claros da Pax Romana foi o intercambio de conhecimento entre Oriente e Ocidente, e desde muito cedo a Índia enviou diplomatas para o Ocidente e o Extremo Oriente. Despontaram vários matemáticos hindus eminentes, destacando-se os dois Aryabhtas, Brahmgupta, Mahavira e Bhaskara. O mais velho dos Aryabhatas, que se sobressaiu no século VI, nasceu perto da atual Patna, junto ao Ganjes. Escreveu um livro de astronomia intitulado Aryabhatiya cujo terceiro capitulo se dedica a matemática. Há alguma confusão a respeito desses homônimos, havendo a possibilidade de que o trabalho de ambos não esteja corretamente diferenciado. As duas partes mais importantes do trabalho de Bhaskara são Lilavati (“bela”) e Vijaganita (“extração de raízes”) que tratam da aritmética e álgebra, não é certo que sejam partes do Siddhanta S’iromani, pode se tratar de trabalhos isolados.

A publicação em 1920 do caderno de notas  de Ramanujan e o subseqüente trabalho feito sobre ele revelam muitas facetas de sua incomum genialidade.

Os hindus foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à álgebra. Muitos problemas eram resolvidos por falsa posição. Outro método de resolução preferido era o de inversão no qual se trabalha para trás, a partir dos dados. Considere por exemplo, o seguinte problema que faz parte do texto Lilavati de Bhaskara: “Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7, diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?

Os hindus não eram proficientes em geometria. Eram pouco comuns as demonstrações no sentido estrito da palavra e inexistiam procedimentos postulacionais. Sua geometria era largamente empírica e em geral se ligava a mensuração.

A ascensão da cultura muçulmana.

Foi de importância fundamental para a conservação de grande parte da cultura mundial as maneiras como os árabes se apoderaram do saber grego e hindu. Os califas de Bagdá foram governadores esclarecidos e muitos deles tornaram-se patronos da cultura e convidaram intelectuais eminentes para se instalarem junto às suas cortes. Inúmeros trabalhos de astronomia, medicina e matemática grega foram laboriosamente traduzidos para o árabe e assim preservados até que posteriormente intelectuais europeus tivessem condições de traduzi-los para o latim ou outras línguas. Não fora os trabalhos dos intelectuais árabes e grande parte da ciência grega e hindu se teriam perdido irremediavelmente ao longo da baixa Idade Média. O papel mais importante desempenhado pelos foi mais de preservação do que de descoberta. O mundo lhes deve um preito de reconhecimento por seus esforços continuados para traduzir os clássicos gregos. Muitos nomes e palavras usadas hoje em dia remontam ao período árabe; assim, qualquer pessoa interessada em astronomia de observação provavelmente tem ciência de que um grande número de nomes de estrelas, em particular daquelas de brilho mais tênue, é árabe.

A BAIXA IDADE MÉDIA

O período que vai da queda do império romano, na metade do século V, até o século XI, é conhecido como Baixa Idade Média. Durante esse período a civilização na Europa Ocidental atingiu níveis muito baixos: o ensino praticamente deixou de existir, quase que todo o saber grego desapareceu e muitas das artes e dos ofícios legados pelo mundo antigo foram esquecidos. Apenas os monges dos monastérios católicos uns pouco leigos cultos preservaram um tênue fio de saber grego e latino. O período foi marcado por muita violência física e intensa fé religiosa. A antiga ordem social cedeu lugar à outra, feudal e eclesiástica. Dentre as pessoas a quem se creditam, com muito boa vontade, certo papel na historia da matemática na Baixa Idade Média, devemos mencionar o estadista romano Boécio, os clérigos eruditos ingleses Beda e Acuino e o famoso sacerdote e erudito francês Gerbert, que veio a se tornar o papa Silvestre II. A importância de Boécio na historia da matemática se embasa no fato de seus livros de geometria e aritmética terem sido adotados por muitos séculos nas escolas monásticas.

Fibonacci e o século XIII

Leonardo Fibonacci, o matemático mais talentoso da idade média. Também conhecido como Leonardo de Pisa(ou Leonardo Pisano),  Seu pai foi para o norte da África desempenhar a função alfandegária, as atividades do pai logo despertaram no garoto um interesse pela aritmética que se canalizou, posteriormente, para extensas viagens ao Egito, à Sicília, à Grécia e Síria, onde pode entrar em contato direto com os procedimentos matemáticos orientais e árabes. Inteiramente convencido da superioridade prática dos métodos indu-arábicos de cálculo, Fibonacci, em 1202, logo depois de retornar a sua terra natal, publicou sua obra famosa intitulada Líber abaci,  em 1220 apareceu a Practica geometriae de fibonacci, numa abordagem hábil, feita com rigor Euclidiano e alguma originalidade, em 1225 escreveu Líber quadratorum, um trabalho brilhante e original.

O século XIV

O século XIV foi relativamente estéril, matematicamente falando. Foi século da peste negra,  que varreu mais de um terço da população da Europa, e da maior parte da guerra dos cem anos, com suas transformações políticas e econômicas no norte da Europa.

O século XV

O século XV testemunhou o inicio do renascimento Europeu na arte e no saber.Com o colapso do império Bizantino, culminando com a queda de Constantinopla ante os turcos em 1453, verifica-se um afluxo de refugiados para a Itália. Foi assim que muitos tesouros da civilização grega entraram no Ocidente e clássico que até então só podiam ser conhecidos através de traduções árabes.

O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Muller, geralmente conhecido como Regiomotanus, traduziu diversas obras do grego como trabalhos de Apolônio, Herão e Arquimedes, inclusive terminou a tradução do Almagesto de Ptolomeu. Seu tratado De triangulis omnimodis, escrito por volta de 1464 mas publicado postumamente em 1533 é a mais importante de sua obra.

O mais brilhante matemático francês do século XV foi Nicolas Chuquet, que nasceu em Paris mas viveu e se dedicou a medicina em Lyon.

Girolamo Cardamo é um dos personagens mais extraordinários da história da matemática. Nasceu em Pávia, 1501, filho ilegítimo de um jurista, vindo sua personalidade a revelar-se extremamente contraditória e arrebatada. Esteve preso, acusado de heresia por ter feito e publicado um horóscopo de Jesus Cristo. Deixou umas obras vastas, abrangendo aritmética, física, medicina e outros assuntos.

Nicolo Tartaglia, nasceu em Brescia, 1499, filho de pais muito pobre, teve de aprender a ler e escrever sozinho, usando para isso, inclusive, um caderno que roubara, era muito talentoso, seu papel nas equações cúbicas e credita-se a ele, também, o mérito de ter sido o primeiro a usar matemática na ciência dos tiros de artilharia.

François Viète

O maior matemático francês do século XVI foi François Viète, nascido em Fontenay, em 1540. Sua obra compreende trabalhos de trigonometria, álgebra e geometria, o mais famoso trabalho de viète é In artem ao qual o desenvolvimento do simbolismo algébrico muito deve, neste texto ele entroduziu a pratica do uso das vogais.

Outros matemáticos do século XVI

Christopher Clavius nasceu em Bamberg, Alemanha, em 1537, publicou uma edição dos Elementos de Euclides, escreveu também sobre trigonometria, astronomia e teve um papel importante na reforma do calendário gregoriano.

Pietro Antonio Cataldi nasceu em Bolonha em 1548, ensinou matemática e astronomia em Florença, Perugia e Bolonha.

Nicolau Copérnico nasceu na Polônia, depois de sua formação na universidade de Cracovia, Copérnico estudou leis,medicina e astronomia em Pádua e Bolonha. Sua obra mais importante a Teoria do Universo ficou pronta em 1530 mas só foi publicado em 1543, ano de sua morte.

Teotônio, principal astrônomo matemático do século XVI foi discípulo de Copérnico, Georg Joachim Rhaeticus(1514-1576). Construção de tábua trigonométrica notável e ainda útil hoje se deve a sua insistência o fato de a obra máxima de Copérnico ter sido publicada dramaticamente, com o autor já em seu leito de morte.

O século XVII

John Napier, nasceu na Escócia (1550-1617), Um de seus grandes feitos foi inventar os logaritmos, embora uma de sua obras mais lida foi A Plaine Discouery of the Whole Reuelation of Saint Iohn, no qual se propunha provar que o papa era o anticristo e que o criador tencionava por fim ao mundo nos anos entre 1688 e 1700.  O livro atingiu vinte e uma edições, pelo menos dez ainda em vida do autor.

Galileu Galilei

Aos vinte e cinco anos de idade Galileu foi indicado professor de matemática da universidade de Pisa, tendo segundo consta, realizado experiência publica sobre a queda dos corpos enquanto exerceu esta função. Conta a historia que certa, perante uma multidão de estudantes, professores e religiosos, ele deixou cair dois pedaços de metal, um deles com o peso dez vezes o do outro, do alto da torre de pisa. Os dois pedaços chocou-se com o chão praticamente ao mesmo tempo, contrariando assim Aristóteles, segundo quem o corpo mais pesado teria de cair muito mais rapidamente do que o outro. Galileu estabeleceu a lei segundo a qual a distância percorrida por um corpo em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda, e que se traduz na fórmula s = gt2/2. Porém, nem a evidencia do experimento de Galileu abalaram a fé dos outros professores da universidade nos ensinamentos de Aristóteles. Mas Galileu ficou também conhecido por construir telescópios, passou a observar os planetas a lua e o sol, começou a discordar das teorias de Aristotele mais uma vez, um religioso chegou a acusar Galileu de colocar os quatros satélites de júpiter dentro de seu telescópio.

Por fim, em 1633, um ano depois da publicação de seu livro em que sustentava a teoria de Copérnico, Galileu foi citado a comparecer perante a inquisição, quando, já doente e envelhecida, foi forçado, sob ameaça de tortura, a retratar-se de suas descobertas cientificas. O perjúrio que cometeu contra sua consciência destruiu a vida do velho sábio.

Kepler

Johann Kepler nasceu em 1951 perto da cidade de Stuttgart, num trabalho efetuado com zelo e paciência constantes durante vinte e um anos. Por fim em 1609, viu-se em condições de formular suas duas primeiras leis do movimento planetário e, dez anos depois, em 1619, a terceira.

Essas leis são marcos fundamentas da historia da astronomia e da matemática. Pois, pois num esforço para justificá-las, Isaac Newton foi levado a criar a mecânica celeste moderna. Essas leis são:

I  Os planetas movem-se em torno do sol em trajetórias elíptica com o sol num dos focos.

II O raio vetor que liga um planeta ao sol varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.

III  O quadrado do tempo para que um planeta complete sua revolução orbital é diretamente proporcional ao cubo do semi-eixo maior da órbita.

A descoberta empírica dessas leis, a partir da massa de dados de Brahe, constitui um dos mais notáveis trabalhos de indução feito pela ciência.

Blaise Pascal

Já se descreveu Pascal como a maior promessa na historia da matemática. Com seu talento incomum e com uma intuição geométrica tão profunda, sob condições mais favoráveis ele deveria ter produzido uma obra muito maior. Nunca teve boa saúde, passava os dias sofrendo de padecimentos físicos.

O Traité du Triangle Arithmétique de Pascal foi escrito em 1653 mas só foi publicado em 1665. Ele construía seu triangulo aritmético. A determinação dos coeficientes binomiais era uma das aplicações que pascal fazia em seu triângulo. Ele também o usava, particularmente em suas discussões sobre probabilidade. (n! chamado de n fatorial, foi introduzido por Christian Kramp, por conveniência define-se 0!=1)

GEOMETRIA ANALÍTICA

René Descartes nasceu perto de tours em 1596. Aos oito anos foi enviado à escola jesuíta(de inicio devido à sua saúde frágil) o hábito de que o acompanhou por toda a vida de ficar na cama até tarde na cama de manhã. Foi durante a sua estada de vinte anos na Holanda que Descarte produziu seus escritos. Os primeiros quatro anos foram gastos para escrever Lê monde, uma descrição física do Universo, que acabou sendo abandonada incompleta quando descartes soube da condenação de Galileu pela igreja.

Fermat.

Ao mesmo tempo em que Descarte formulava as bases da geometria analítica moderna. O assunto também ocupava a atenção de outro gênio matemático francês, Pierre de Fermat, os detalhes a respeito aparecem no artigo publicado postumamente, nele encontramos a equação geral da reta e da circunferência e uma discussão sobre hipérbole, elipses e parábolas. Num trabalho sobre tangentes e quadraturas, concluído antes de 1637. Dentre as varias contribuições, a mais importante é a fundação da moderna teoria dos números. Neste campo a intuição e o talento de Fermat eram extraordinários.

CALCULOS CONCEITOS RELACIONADOS

Isaac Newton nasceu em 1642, já na universidade começou a ler vários livros, começando com Os Elementos de Euclides, La Géommétrie de descartes, Clavis de Oughtred, trabalhos de Kleper e Viéte e a Aritmética infinitorium de Wallis, e não demorou para que ele passasse a criar a sua própria matemática, primeiro descobrindo o teorema do binômio generalizado, depois inventando o método de fluxos, como ele chamava o atual calculo diferencial, por um período as portas da universidade foram fechadas devido a uma violenta peste bubônica. Interessou por varias questões física, levou a efeito suas primeiras experiências em ótica e formulou os princípios básicos da gravitação.

Se no campo experimental Newton demonstrou uma habilidade um pouco comum, como analista foi soberbo. Como matemático, figura entre os maiores que o mundo já produziu em todos os tempos. Sua acuidade para com os problemas físicos e a habilidade para abordá-los matematicamente provavelmente nunca foi superada. Sua grandeza foi reconhecida por juizes de elevado quilate cientifico, como Leibniz, que nobremente lhe prestou um tributo dizendo: “Tomando a matemática desde o inicio do mundo a´te a época em que Newton viveu, o que ele fez foi, em grande escala, a metade melhor”. E há também a observação de Lagrange considerando Newton o maior gênio de todo os tempos, e também o mais feliz, pois só há um sistema no universo e coube a ele o privilegio de instituí-lo. Suas realizações foram expressas poeticamente por Alexandre Pope nos versos.

A natureza e as leis da natureza jaziam ocultas na noite;

Deus disse, ‘Faça-se Newton’, e a luz se fez.

Leibniz, o grande gênio do século XVII e rival de Newton na invenção do cálculo, nasceu em 1646.

Em 1672 quando cumpria uma missão diplomática em Paris, Leibniz conheceu Haygens, que na ocasião residia lá, e o jovem diplomata convenceu o cientista a dar-lhe aulas de matemática. No ano seguinte Leibniz foi enviado em missão política a Londres, onde travou relações de amizade com Oldenburg e outros e teve ocasião de exibir à Royal Society uma maquina de calcular que inventara. Antes de deixar Paris, Leibniz já havia descoberto o teorema fundamental do cálculo, desenvolvido grande parte de sua notação para o assunto e estabelecido muitas fórmulas elementares de diferenciação. Leibniz inventou o seu cálculo entre 1673 e 1676. Usou pela primeira vez o símbolo de integral, como o fazemos hoje.

Entre 1688 e 1825, portanto a Europa e a América assistiram a varias revoluções burguesas contra a velha ordem aristocrática. Na Inglaterra e nos Estados Unidos a burguesia assumiu o poder. Mesmo em ligares onde,  como na França, se verificou o refluxo revolucionário, ampliou-se muito o espaço da burguesia nos negócios dos estados e nas finanças. Por todo o Ocidente, por volta de 1825, a burguesia seguiu firma par superar de vez a velha ordem aristocrática feudal e se impor como nova classe dirigente.

A derrota de Napoleão em 1815, diante da coalizão Inglaterra/Prússia/Rússia/Áustria pôs fim ao império Francês e restaurou o primado aristocrático na França, na Alemanha, na Itália e na Polônia. Esses novos governos aristocráticos eram porem, débeis e no século XIX teriam de enfrentar a oposição de burgueses republicanos, nacionalistas e socialistas. A sociedade européia teria ainda que se haver com outros fermentos políticos no século XIX, sendo de destacar a Revolução Industrial.

A Exploração do Cálculo

A família Bernoulli

As principais contribuições à matemática no século XVIII foram dadas por membros da família Bernoulli, deve-se observar que o veio principar da matemática desses homens teve como origem e como meta as aplicações do cálculo à mecânica e à astronomia.

Taylor e Macaurin

Os nomes do inglês Brook Taylor e do escocês Colin Maclaurn. O teorema de Expansão de Taylor  foi publicado em 1715 e não fazia considerações sobre convergência. Alguns trabalhos feitos por Taylor na teoria da perspectiva vieram a encontrar aplicações modernas em aspectos matemáticos da fotogrametria, a ciência que utiliza o recurso das fotografias tiradas de aviões na agrimensura.

O reconhecimento pleno da importância da serie de Taylor teve de esperar até 1755, quando Euler aplicou ao seu calculo diferencial e um pouco mais, quando Lagrange usou a serie com o resto como base de sua teoria das funções.

Euler

Leonard Euler nasceu na suíça, em 1707, as contribuições de Euler à matemática são demasiado numerosas para serem expostas aqui completamente, de modo que apontaremos apenas algumas no plano elementar, registremos que se deve a Euler a implantação das seguintes notações: Para funções, para a base dos logaritmos, e muitos outros.

Outros matemáticos: Aléxis Claude Clairaut, Jean-Le-Rond D’Alembert, Johann Heinrich Lambert, Maria Gaetana Agnesi esta foi designada pelo papa Benedito XIV, membro honorário da universidade de Bolonha, mas jamais foi professora dessa instituição. Madame Du Châtelet.

Joseph Louis Lagrange foi um dos matemáticos mais importantes do século XVIII. O importante teorema dos grupos que garante que a ordem de um subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo é conhecido por teorema de Lagrange. Teve como seu grande admirador Napoleão Bonaparte, sintetizou sua admiração com a frase: ”Lagrange é a pirâmide mais alta das ciências matemáticas.”

Pierre-Simon Laplace, com duas citações devidas a ele “Todos os efeitos da natureza são apenas conseqüências matemáticas de um pequeno número de leis imutáveis.” “Em última instancia, a teoria das probabilidades é apenas o senso comum expresso em números.”

Adrien-Marie Legendre, é conhecida na historia da matemática elementar devido aos seus Eléments de géométrie, cuja proposta era aprimorar Os Elementos de Euclides.

A libertação da Geometria e da álgebra.

O príncipe dos matemáticos, Gauss deu contribuições notáveis à astronomia, geodésica e à eletricidade. Em 1812, num artigo sobre séries hipergeométricas, Gauss fez a primeira investigação sistemática sobre convergências de séries. A obra-prima de Gauss sobre a teoria das superfícies surgiu em 1827, e inaugurou o estudo da geometria intrínseca das superfícies do espaço. É famosa a afirmação de Gauss de que “a matemática é a rainha das ciências, e a teoria dos números é a rainha da matemática”.

Joseph Fourier, 1768.

Em 1807 Fourier apresentou um artigo à academia de ciências da França que deu início a um novo e extremamente frutífero capitulo da historia da matemática. Lord Kelvin( William Thomson, 1824-1907) afirmou que toda a sua carreira na física-matemática foi foi influenciada pelo trabalho de Fourier sobre o calor e Clerk Maxwel manifestou que o tratado de Fourier é “ um grande poema matemático”.

Augustin-Louis Cauchy, nasceu em Paris em 1789, foi o mais importante analista da primeira metade do século XIX, Deve-se a Cauchy grande parte da abordagem do cálculo apresentado nos atuais textos universitários, como os conceitos básicos de limites e continuidade. Cauchy definiu a derivada de y = f(x), entre outros.

Geometria não-Euclidiana

Dois desenvolvimentos matemáticos notáveis e revolucionários ocorreram na primeira metade do século XIX. O primeiro foi a descoberta, perto de 1829, de uma geometria autoconsistente, diferente da geometria usual de Euclides; o segundo foi a descoberta, em 1843, de uma álgebra diferente da álgebra familiar dos números reais.

Em 1854, Georg Friederich Bernhard Riemann(1826-1866), mostrou que descartando-se a infinitude da reta, e admitindo-se simplesmente que a reta seja ilimitada, então com alguns outros ajustamentos pequenos nos demais postulados, pode-se desenvolver ima outra geometria não Euclidiana consistente a partir da hipótese do ângulo obtuso. As três geometrias, a de Bolyai e Labachevsky, a de Euclides e a de Riemann foram batizadas por Klein em 1871 de geometria hiperbólica, geometria parabólica e geometria elíptica, respectivamente.

A criação das geometrias não-Euclidianas, puncionando uma crença tradicional e rompendo com um hábito de pensamento secular, desferiu um golpe duro no ponto de vista da verdade em matemática. Nas palavras de Georg Cantor: “A essência da matemática esta em sua liberdade.”

 Antes de encerrar esta seção, consideremos mais uma álgebra não-comutativa, a álgebra das matrizes, descoberta pelo matemático Inglês Arthur Cayley(1821-1895) em 1957. As matrizes surgiram para Cayley ligadas a transformações lineares.

Foi só no século XIX que finalmente se provou a impossibilidade da resolução dos ter problemas da antiguidade com os instrumentos Euclidianos. Podem-se encontrar demonstrações desse fato em muitos dos textos atuais sobre teoria das equações, onde se mostra que as condições de construbilidade são de natureza assencialmente algébrica. Em particular, estabelecem-se os dois teoremas seguintes:

1 O número que expressa o comprimento de um segmento construtivel em relação a uma dada unidade é necessariamente algébrico.

2 A partir de uma dada unidade de comprimento é impossível construir com os instrumentos Euclidianos um segmento cuja medida é a raiz de uma equação cúbica de coeficientes racionais mas sem raízes racionais.

O geômetra e poeta italiano do século XVIII, Lorenzo Mascheroni(1750-1800), fez a surpreendente descoberta de que todas as construções euclidianas, na medida em que os elementos dados e procurados são pontos, podem ser feitas apenas com o compasso, sendo a régua portanto é um instrumento supérfluo. Obviamente não se pode traçar uma reta com o compasso, mas qualquer reta a que se chegue numa construção euclidiana pode ser determinada com compasso apenas encontrando-se dois de seus pontos. Essa descoberta foi revelada em 1797 na Geometria Del Compasso de Mascheroni.

Jean Victor Poncelet

O traité dês propriétés Projective dês Figures é um marco da geometria. Deu grande impulso ao estudo da geometria projetiva e inaugurou o chamado “Grande período” da historia do assunto, uma legião de matemáticos vieram abraçar esse campo.

Aqui restringiremos a considerar apenas dois dos instrumentos matemáticos utilizados por Poncelet em seu desenvolvimento da geometria projetiva – o principio de dualidade e o principio de continuidade.

Geometria diferencial

A geometria diferencial é o estudo das propriedades das curvas e superfícies e suas generalizações, por meio do cálculo. Na maior parte dos casos, a geometria diferencial investiga curvas e superfícies nas vizinhanças imediatas de qualquer de seus pontos.

Albert Einstein(1879-1955). Exploraram-se então intensivamente geometrias diferenciais generalizadas, conhecidas como geometrias riemannianas, as quais, por sua vez, abriram caminho para as geometrias não-riemannianas(e outra). As pesquisas de hoje em geometria diferencial guardam pouca semelhança com o estudo clássico, fortemente ligado ao concreto.

Leopold Kronecker, (1823)

Georg Ferdinand Ludwig Cantor, (1845)

Henri Poincaré, (1854)

Charlotte Angas Scott(1858-1931), Charlotte Scott foi a primeira inglesa a receber um doutoramento( incluindo todos os campos): em matemática, na universidade de Londres. Ela passara nove anos na universidade de Cambridge que, somente em 1948, iria propiciar ás mulheres a oportunidade desse grau acadêmico. Quebraram–se barreiras do sexo existente no século XIX e no começo do século XX no campo da matemática e as universidades por fim se abriram para a aceitação das mulheres em sua faculdades e para seu reconhecimentos acadêmico.

Em 1971 fundou-se nos Estados Unidos a Association for Women in Mathematics(aberta também para o sexo masculino) com o objetivo de colocar homens e mulheres da matemática em pé de igualdade.

Os números primos

Os números primos ostentam uma histórica, desde os dias dos gregos antigos até o presente. Como algumas das mais importantes descobertas sobre primos foram feitas no século XIX.

Não há, porém nenhum procedimento prático para testar se um número grande é primo e o esforço feito na verificação de alguns números particulares foi enorme. Por mais de setenta e cinco anos o maior número primo efetivamente testado foi, com 39 algarismos, num trabalho do matemático francês Anatole Lucas(1842-1891) em 1876. Em 1952 o computador EDSAC, em Cambridge, Inglaterra, mostrou que é primo o número muito maior(setenta e nove algarismos).

O átomo e a roda de fiar

A revolução computacional do século XX afetou também profundamente muitos ramos da matemática. Definitivamente, a velha imagem da “Árvore da matemática” tornou-se obsoleta. E o que é bastante curioso, como grande parte da matemática, as maiorias dessas considerações modernas têm suas raízes no trabalho dos gregos antigos, muitos em particular nos Elementos de Euclides.

O primeiros computadores em sua grande maioria tinham propósitos militares, mas hoje eles são projetados para atender também as empresas, a administração pública, o setor de engenharia e muitas outras atividade.

Cantor, num de seus primeiros artigos sobre a teoria dos conjuntos, provou a enumerabilidade de dois importantes conjuntos que, à primeira vista, certamente não parecem ter esta propriedade.

Teorema 1 : O  conjunto dos números racionais é enumerável.

Teorema 2 : O conjunto dos números algébricos é enumerável.

Teorema 3 : O conjunto dos números reais do intervalo 0 < x < 1 não é enumerável.

Dos teoremas 2 e 3 cantor deduziu o notável corolário seguinte:

Teorema 4 :  Existem números transcendentes.

Há uma preocupação ainda mais sombria para com o futuro da matemática. Há os que entendem que ela esta se tornando um monstro,  um Frankenstein que ao fim dará cabo de si mesmo. A matemática tem um papel primordial na era nuclear que vivemos. Ela é uma das grandes responsáveis pelo desenvolvimento da bomba atômica e de outros artefatos destrutivos e parece ser verdade axiomática que toda a matemática que pode ser usada para fins destrutivos será usada para esses fins. Corrobora essas preocupações a famosa carta-depoimento de Norbert Wiener, escrita depois do decisivo lançamento das bombas atômicas sobre Hiroshima e Nagashaki, na qual ele censura o hábito dos matemáticos de partilhar livremente seus conhecimentos e suas descobertas, e os problemas de consciência de Einstein e outro em torno do papel da matemática em certos aspectos do programa nuclear.

Esperamos que predominem os frutos sadios, que a matemática continue a florescer indefinidamente e que, parafraseando Carl Gustav Jacobi, ela continue a honrar a inteligência e o espírito humanos.

Texto elaborado pelo Professor Ivo R. Mello, do

Livro Introdução a história da matemática/Howard Eves